Уравнение Шредингера. Движение свободных частиц

Положение частицы в пространстве в данный момент времени в квантовой механике опред. Значением волновой функции- пси. Ψ(x,y,z,t). Вероятностьdwтого, что частица находится в элементе объемаdv.Dw=!Ψ^2!dv,dV=dx,dy,dz. !Ψ*Ψ!= ΨΨ*. !Ψ*Ψ!=dw/dv- плотность вероятности пребывания частицы в данной точке пространства в данный момент времени. Оказывается, что интенсивность волны Де Броля =!Ψ*Ψ! (=A*A). Из определения Ψ функции следует условие нормировки вероятности §!Ψ*Ψ!dv=1. Где интеграл(тройной) поVвычисляется по координатамx,y,zизменяется от –беск до +беск. Условия нормировки указывает на то, что пребывание частицы в какой лидо т. пространства есть событие достоверное, и его вероятность должна =1.

Волновая функция от x,y,z,tявляется основной характеристикой состояния микрообъекта. С ее помощью опред. Среднее значение физ. ВеличиныL, которая характеризует объект, находящийся в состояние которое описывается волновой функцией Ψ. <L>=§§§(- +)L!Ψ*Ψ!dxdydz. Временным уравнением Шредингера называется основное уравнении квантовой механики относительно волновой функции. Это уравнение определяет Ψ функцию для микрочастиц которые двигаются с потенциальной энергиейU(x,y,z,t).Ih\dΨ/dt=h\*h\/2m*/\Ψ+U(x,y,z,t)Ψ. Уравнение Шредингера дор. Условиями, которые накладываются на волновую функцию. 1)Ψ функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной. 2)dΨ/dx,dΨ/dy,dΨ/dzдолжны быть непрерывны. 3) !Ψ* Ψ! Должна быть интегрируемой, т.е. тройной интеграл должен быть конечен. В простейшем случае условие сводится к условию нормировки. В случае, когда Ψ функция зависит от времени она удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера /\Ψ=2m/h\*(w-U) Ψ=0. Ψ функция которая удовлетворяет уравнению при заданном видеU=U(x,y,z) получила название собственных функций.

Они существуют только при опред. Значениях полной энергии W, которая называется собственными значениями энергии. Совокупность собственных значенийWобразуют энергетический спектр частиц. Если предполагается, что зависимостьEpот координат представляет собой монотонную функцию, и еслиU->0, то в области значенийW<0 собств. Значения энергии образуют дискретный спектр. Отыскание собственных значенийEчерез собственную Ψ функции составляет основную задачу квантовой механики. Временное уравнение Шредингера Ψ(x,y,z,t)= Ψ(x,y,z)e^(-i*t*W/h\). Состояние частиц в данный момент времени опис. Периодической функцией времени с циклической частотойw=w/h\. Это соответствует связи полнойEс частотой волны Де Броля. Еслиw=const, то вероятность обнаружить ее в элементе объема, не будет зависеть от времени. Т.к.dw= !ΨΨ!dV= Ψ *Ψ**dV. Такое состояние частицы с пост. Энергией называется стационарным состоянием, атом находящийся в таком состояние имеет пост. Энергию и не излучает Эл.м. волн.

При свободной движении частиц U=0 и ее полная энергияWсовпадает сw. Если осьoxнаправлена вдоль скорости движения частицы,V’=const’, то стационарное уравнение Шредингера будет иметь следующее решение: Ψ=Ae^(-i/h\*корень(2mW)x)+Be^(i/h\корень(2mW)x), гдеA,B- постоянные коэф. Временное уравнение будет иметь следующее решение: Ψ(x,y,z,t)=Ae^i(w/[t*h\]-корень(2mW)/h\x)+Be^-i(w/[th\]+корень(2mW)/h\x), Эта величина представляет собой суперпозицию монохром. Волнw=W/h\, которая распространяется одна, вдоль + направления осиoxс амплитудойA, а второе в противоположном направление с амплитудойB. Свобод. Частица квантовой механики описывается монохромной волной Де Броля, с волновым числомk=1/h\*корень(2mw). Для волны, распространяющейся вдоль осиoxвероятность обнаружения ее определяется: !Ψ Ψ!= Ψ Ψ*=!A*A!