- •Случайные события.
- •Cлучайные величины. Функции распределения, их свойства.
- •Функция распределения случайной величины. Её свойства
- •Функция распределения дискретной случайной величины
- •Дисперсия случайной величины
- •Моменты
- •Среднее геометрическое и среднее гармоническое
- •Независимость случайных величин
- •Ковариация
- •Корреляция
- •Закон больших чисел.
- •Основные инструменты Mathcad для решения задач теории вероятностей.
Среднее геометрическое и среднее гармоническое
Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины - числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.
Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .
Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на [a, b],
0 < a < b, среднее гармоническое вычисляется следующим образом:
и .
Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .
Название “среднее геометрическое” происходит от выражения среднего геометрического дискретной случайной величины, имеющей равномерное распределение
|
a1 |
a2 |
a3 |
... |
an |
p |
1/n |
1/n |
1/n |
... |
1/n |
Среднее геометрическое, вычисляется следующим образом:
,
т.е. получилось традиционное определение среднего геометрического чисел a1, a2, …, an.
Например, среднее геометрическое случайной величины, имеющей показательное распределение с параметром , вычисляется следующим образом:
, .
Здесь С 0.577 - постоянная Эйлера.
Наиболее распространенные распределения дискретных случайных величин.
Биномиальное распределение ~ Геометрическое распределение ~ Гипергеометрическое распределение ~ Пуассоновское распределение
Биномиальное распределение
Пусть проводится серия из n независимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”. Пусть в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q = 1- p. С таким испытанием можно связать случайную величину , значение которой равно числу успехов в серии из n испытаний. Эта величина принимает значения от 0 до n. Ее распределение называется биномиальным и определяется формулой Бернулли
, 0 < p <1, k = 0, 1, …, n, , M = np, D = npq, .
Геометрическое распределение
Со схемой испытаний Бернулли можно связать еще одну случайную величину - число испытаний до первого успеха. Эта величина принимает бесконечное множество значений от 0 до + и ее распределение определяется формулой
pk = P(= k) = qk-1 p, 0 <p <1, k=1, 2, … , , , .
Гипергеометрическое распределение
В партии из N изделий имеется M (M < N) доброкачественных и N - M дефектных изделий. Если случайным образом из всей партии выбрать контрольную партию из n изделий, то число доброкачественных изделий в контрольной партии - случайная величина, которую обозначим. Распределение такой случайной величины называется гипергеометрическим и имеет вид:
, k = 0, 1, …, min(n,M), ,
, .
Пуассоновское распределение
Пуассоновское распределение c параметром имеет случайная величина , принимающая целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, … с вероятностями pk:
, , M =, D = , > 0 - параметр распределения.
Наиболее распространенные распределения непрерывных случайных величин.
Равномерное распределение ~ Экспоненциальное (показательное) распределение ~ Нормальное распределение ~ Распределение хи-квадрат (c 2- распределение) ~ F-распределение Фишера ~ Распределение Парето ~ Логистическое распределение ~ Логнормальное распределение ~ Вета-распределение ~ Распределение Вейбулла ~ Распределение Коши ~ Гамма-распределение ~ Распределение Лапласа
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина , принимающая значения на отрезке [a, b], распределена равномерно на [a, b], если ее плотность распределения p (x) и функция распределения Fx (x ) имеют соответственно вид:
, .
Экспоненциальное (показательное) распределение
Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение с параметром > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределения p (x )и функция распределения F (x) имеют соответственно вид:
, .
Нормальное распределение
Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике.
Случайная величина нормально распределена с параметрами a и , >0, если ее плотность распределения p (x ) и функция распределения F (x) имеют соответственно вид:
, , M = a, D = 2.
Часто используемая запись ~ N(a, ) означает, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами a и .
Говорят, что случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, если a = 0 и = 1 ( ~ N(0, 1)). Плотность и функция распределения стандартного нормального распределения имеют вид:
, , M = 0, D = 1.
Здесь - функция Лапласа.
Функция распределения нормальной величины ~ N(a, ) выражается через функцию Лапласа следующим образом: .
Если ~ N(a, ), то случайную величину = (x-a)/ называют стандартизованной или нормированной случайной величиной; ~ N(0, 1) - имеет стандартное нормальное распределение.
Распределение хи-квадрат ( 2- распределение)
Пусть 1, 2, …, n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Составим случайную величину
2 = 12 + 22 + …+ n2.
Ее закон распределения называется 2- распределением с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:
, D 2=2n.
Здесь - гамма-функция Эйлера.
Распределение Стьюдента
Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина n2 - 2-распределение с n степенями свободы. Если и n2 - независимы, то про случайную величину говорят, что она имеет распределение Стьюдента с nстепенями свободы. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:
, x R, M n = 0, D n = n/(n-2), n>2.
При больших n распределение Стьюдента практически не отличается от N(0, 1).
F-распределение Фишера
Пусть случайные величины n2и m2 независимы и имеют распределение 2 с n и mстепенями свободы соответственно. Тогда о случайной величине говорят, что она имеет F-распределение. Плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по формуле:
, x>0, - гамма-функция Эйлера; , m>2; , m > 4.
Распределение Парето
Распределение Парето часто применяется в экономических исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид
, .
Распределение Парето имеет математическое ожидание только при > 1, а дисперсию - только при > 2. Cлучайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области x x0, x0 > 0.
Логистическое распределение
Это еще одно распределение, широко применяемое в экономических исследованиях. Для случайной величины , имеющей логистическое распределение, функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:
, ,
, , x R, и - параметры распределения.
По своим свойствам логистическое распределение очень похоже на нормальное.
Логнормальное распределение
Случайная величина имеет логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение с параметрами a и , если случайная величина ln имеет нормальное распределение с параметрами a >и . Функция распределения и функция плотности вероятностей логнормального распределения имеют соответственно вид:
, , , .
Бета-распределение
Случайная величина имеет В-распределение (бета-распределение) с параметрами a1 и a2, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:
Распределение Вейбулла
Случайная величина имеет распределение Вейбулла с параметрами 0 и , если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:
, , , - гамма-функция Эйлера.
Распределение Коши
Случайная величина имеет распределение Коши с параметрами a и c, если ее функция распределения и функция плотности вероятностей имеют соответственно вид:
У распределения Коши не существует ни математического ожидания, ни дисперсии. Это распределение не имеет ни одного момента положительного порядка.
Гамма-распределение
Случайная величина имеет Г-распределение (гамма-распределение) с параметрами a и b, если ее функция плотности вероятностей имеет вид:
, a > 0, b > 0, , , .
Распределение Лапласа
Случайная величина имеет распределение Лапласа (двустороннее экспоненциальное распределение) с параметром , если ее функция плотности вероятностей имеет вид:
|
, - |
|
< x < |
|
, M = 0, D = 2/ 2. |
Предельные теоремы для биномиального распределения.
Теорема Пуассона ~ Локальная теорема Муавра—Лапласа ~ Интегральная теорема Муавра—Лапласа ~ Теорема Бернулли
Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли растет, а вероятность p уменьшается, то точная формула практически непригодна из-за громоздких вычислений и возникающих погрешностей округления. В этом случае пользуются приближенными формулами Пуассона (при npq < 9) и Муавра-Лапласа (npq > 9).
Теорема Пуассона
Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и так, что , , то при любых
Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой
, т.е. использовать формулу Пуассона для = np.
На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Пусть 0< p <1 и величина при n ограничена. Тогда .
На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.
Точность формулы растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n для любых a и b справедлива формула
.
Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
,
где , , - функция Лапласа.
Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.
Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула
и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
, где , .
Теорема Бернулли
Если - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p, 0 < p < 1, то для любого > 0 справедливо: .
Утверждение теоремы Бернулли означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов /n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.
Достаточно часто возникает необходимость установить, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты успехов /n от вероятности p с вероятностью, больше или равной было меньше . Т.е. требуется найти n, для которого справедливо неравенство . Доказано, что число n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, удовлетворяет соотношению , где - решение уравнения . Следует обратить особое внимание на замечательный факт: искомое значение n не зависит от p!
Совместные распределения нескольких случайных величин.
Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин ~ Независимость случайных величин ~ Условные распределения случайных величин ~ Условные распределения дискретных случайных величин ~ Условные распределения непрерывных случайных величин
В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается .
Точнее. На вероятностном пространстве заданы случайные величины ; каждому эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).
Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин.
Функцией распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством
,
где .
По известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .
Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:
, .
В дальнейшем будем рассматривать двумерные случайные векторы.
Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника на плоскости вероятность события равна
.
Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения.
Легко показать, что .
Если - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:
и .
Если - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин и чаще всего называют таблицу вида
|
y1 |
y2 |
... |
ym |
x1 |
p11 |
p12 |
... |
p1m |
x2 |
p12 |
p12 |
... |
p2m |
... |
... |
... |
pij |
... |
xn |
pn1 |
pn2 |
... |
pnm |
где и .
По этой таблице можно найти распределения и компонент и . Они вычисляются по формулам:
.