- •Случайные события.
- •Cлучайные величины. Функции распределения, их свойства.
- •Функция распределения случайной величины. Её свойства
- •Функция распределения дискретной случайной величины
- •Дисперсия случайной величины
- •Моменты
- •Среднее геометрическое и среднее гармоническое
- •Независимость случайных величин
- •Ковариация
- •Корреляция
- •Закон больших чисел.
- •Основные инструменты Mathcad для решения задач теории вероятностей.
Независимость случайных величин
Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение ( , ) по распределениям величин и , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины и независимы.
Случайные величины и называются независимыми, если для любых x1, x2 R2 справедливо равенство:
F , (x1, x2)= Fx (x1)Fh ( x2).
Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно следующему:
случайные величины называются независимыми, если
p , (x1, x2)= p (x1) p (x2)
во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.
Для дискретных случайных величин и с матрицей совместного распределения {pij} условие независимости и имеет вид:
pij = P( = xi, = yj) = P( = xi) P( = yj),
для всех i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.
Условные распределения случайных величин
Если две случайные величины и зависимы, то информация о том, какое значение на самом деле приняла одна из них, меняет наше представление о распределении другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения.
Условные распределения дискретных случайных величин
Пусть дана двумерная случайная величина ( , ) с распределением
|
y1 |
y2 |
... |
ym |
x1 |
p11 |
p12 |
... |
p1m |
x2 |
p12 |
p12 |
... |
p2m |
... |
... |
... |
pij |
... |
xn |
pn1 |
pn2 |
... |
pnm |
Тогда распределения случайных величин и имеют соответственно вид:
|
x1 |
x2 |
... |
xn |
p |
p1 |
p2 |
... |
pn |
|
y1 |
y2 |
... |
yn |
|
p 1 |
p 2 |
... |
p n |
точка в индексе означает суммирование по строкам или по столбцам:
, .
Условным распределением случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:
|
x1 |
x2 |
... |
xn |
p |
|
|
... |
|
Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей величины в этом распределении равна единице: для всех j = 1, 2, …, m.
Совершенно аналогично условным распределением случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:
|
y1 |
y2 |
... |
yn |
p |
|
|
... |
|
И для всех i = 1, 2, …, n.
Если условные распределения случайных величин и отличаются от их безусловных распределений, то случайные величины и зависимы.
Условные распределения непрерывных случайных величин
Если - плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины , то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:
, .
Условной плотностью распределения случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение = y0, называется функция переменной x, определяемая формулой
.
Аналогично, условной плотностью распределения случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение = x0, называется функция переменной y, определяемая формулой
.
Функции случайных величин.
Плотность вероятности суммы двух случайных величин ~ Распределение произведения двух случайных величин
Если - случайная величина с областью значений X и функция f(x) определена на множестве X , то = f(x) - тоже случайная величина. Задача об отыскании функции распределения случайной величины по известной функции распределения случайной величины легко решается, если f(x) - непрерывная монотонно возрастающая функция. Доказано, что тогда функция распределения F (x) случайной величины задается формулой F (x)=F ([f(x)]-1).
Здесь F (x) - известная функция распределения случайной величины , а символом [f(x)]-1 обозначена функция, обратная к функции f(x).
Плотность распределения случайной величины для дифференцируемой f(x) вычисляется по формуле
.
Плотность вероятности суммы двух случайных величин
В теории вероятностей часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если 1 и 2 - непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно p1(x) и p2(x), то плотность вероятностей суммы = 1 + 2 вычисляется по формуле:
.
Распределение произведения двух случайных величин
Порядок построения распределения произведения двух дискретных случайных величин проще всего объяснить на примере.
Пусть ( , ) - дискретный случайный вектор с распределением:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
1 |
0.1 |
0.1 |
0.2 |
0.4 |
2 |
0.05 |
0.01 |
0.01 |
0.03 |
Найдем распределение произведения случайных величин - случайной величины = ,
которая принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8. Вычислим соответствующие вероятности:
P( = = 0) = P( = 0, = 1) + P( = 0, = 2) + P( = 0, = 3) + P( = 0, = 4) = 0.1;
P( = 1) = P( = 1, = 1) =0.1; P( = 2) = P( = 1, = 2) + P( = 2, = 1) =0.15; и т.д.
В результате получим распределение случайной величины = :
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
p |
0.1 |
0.1 |
0.15 |
0.2 |
0.41 |
0.01 |
0.03 |
Для того чтобы найти распределение произведения непрерывных случайных величин, необходимо выполнить более громоздкие вычисления.
Пусть ( , ) - непрерывный двумерный случайный вектор с плотностью распределения p( )(x1, x2). Построим функцию распределения случайной величины = . Согласно определению
.
Для вычисления этой вероятности рассмотрим отдельно случаи x>0 и x<0. Области интегрирования для обоих случаев на рисунке закрашены.
Область D={ x1x2 < x, x > 0} изображена на рисунке слева, а область D={ x1x2 < x, x < 0} - справа.
При x>0 имеем: .
При x<0: .
Числовые характеристики двумерных случайных величин.
Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание ~ Ковариация ~ Корреляция
В этом разделе рассмотрены числовые характеристики только двумерных случайных величин, поскольку обобщение на случай не вызывает затруднений.
Математическое ожидание
Пусть ( , ) - двумерная случайная величина, тогда M( , )=(M( ), M( )), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.
Если ( , ) - дискретный случайный вектор с распределением
|
y1 |
y2 |
... |
ym |
x1 |
p11 |
p12 |
... |
p1m |
x2 |
p12 |
p12 |
... |
p2m |
... |
... |
... |
pij |
... |
xn |
pn1 |
pn2 |
... |
pnm |
то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:
, .
Эти формулы можно записать в сокращенном виде.
Обозначим и , тогда и .
Если p( , )(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины ( , ), то
и .
Поскольку -плотность распределения случайной величины , то и, аналогично, .
Дисперсия
Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.
Если ( , ) - двумерная случайная величина, то
D = M( - M )2 = M 2 - M( )2, D = M( - M )2 = M 2 - M( )2.
Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.
Условное математическое ожидание
Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если - случайная величина и = 2, то - тоже случайная величина, связанная с функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.
Для двумерного дискретного случайного вектора ( , ) с распределением
|
y1 |
y2 |
... |
ym |
x1 |
p11 |
p12 |
... |
p1m |
x2 |
p12 |
p12 |
... |
p2m |
... |
... |
... |
pij |
... |
xn |
pn1 |
pn2 |
... |
pnm |
условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение yj, вычисляется по формуле .
Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины при условии, что случайная величина принимает значение xi, равно .
Видно, что условное математическое ожидание случайной величины является функцией значений случайной величины , т.е. M( / = y) = f1(y) и, совершенно аналогично, M( / = x) = f2(x).
Функцию f1(y) называют регрессией случайной величины на случайную величину , а f2(x) - регрессией случайной величины на случайную величину .
Если p( , )(x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины ( , ), то
и .