- •Предисловие
- •Глава I. Введение в анализ
- •1.1. Множества. Основные определения
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Функция одной переменной. Основные определения
- •1.4. Свойства функции
- •1.5. Способы задания функции
- •1.6. Элементарные функции
- •Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •2.1. Последовательность и ее предел
- •2.2. Предел функции в точке. Односторонние пределы
- •2 .3. Предел функции при . Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •2.4. Основные теоремы о функциях, имеющих конечные пределы
- •2.5. Замечательные пределы
- •2.6. Сравнение функций
- •2.7. Асимптоты кривой
- •2.8. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность
- •2.9. Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Глава III. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке. Односторонние производные
- •3.2. Геометрический смысл производной
- •3.3. Понятие бесконечной производной
- •3.4. Основные правила дифференцирования функций
- •3.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •3.6. Дифференциал функции
- •3.7. Дифференцирование параметрически заданной функции
- •3.8. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •4.4. Возрастание и убывание функции
- •4.5. Экстремумы функции
- •4.6. Направление выпуклости кривой
- •4.7. Точки перегиба кривой
- •4.8. Построение графика функции
- •Глава V. Функции нескольких переменных
- •5.1. Понятие n-мерного координатного пространства
- •5.2. Определение функции нескольких переменных
- •5.3. Частные производные функции
- •5.4.Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •5.5 Дифференциал функции двух переменных
- •5.6. Частные производные высших порядков функции двух переменных
- •5.7. Экстремумы функции
- •Глава VI. Неопределенный интеграл
- •6.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •6.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •6.3.Таблица основных неопределённых интегралов
- •6.4. Основные методы интегрирования
- •1) Метод непосредственного интегрирования
- •2) Метод подведения под знак дифференциала
- •3) Метод замены переменной
- •4) Метод интегрирования по частям
- •6.5. Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен
- •6.6. Интегрирование рациональных дробей
- •6.7. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1) Интегралы вида
- •2) Интегралы вида .
- •3) Интегралы вида ,
- •6) Интегралы вида
- •6.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •3) Интегрирование дифференциальных биномов.
- •Глава VII. Определенный интеграл
- •7.1. Понятие определённого интеграла. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла
- •7.2. Свойства определённого интеграла
- •7.3. Основные методы вычисления определённого интеграла
- •1) Замена переменной в определённом интеграле.
- •2) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Глава VIII. Геометрические приложения определенного интеграла
- •8.1. Вычисление площади плоской фигуры
- •8.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Глава IX. Несобственные интегралы
- •9.1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)
- •9.2. Свойства несобственных интегралов I рода
- •, Где α, β – числа.
- •9.3. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
- •1) Признак сравнения.
- •9.4. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)
- •Глава х. Числовые ряды
- •10.1. Основные определения и примеры
- •10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Операции над числовыми рядами
- •10.3. Знакоположительные ряды
- •10.4. Знакочередующиеся ряды
- •10.5. Знакопеременные ряды
- •Глава XI. Функциональные ряды
- •11.1. Основные определения и примеры
- •11.2. Степенные ряды. Свойства степенных рядов
- •11.3. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена
- •Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •12.1 Основные понятия и определения
- •12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Классификация решений
- •12.3 Дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной и диффернциальной форме
- •12.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •12.3.2. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •12.3.3. Линейные уравнения первого порядка Уравнение Бернулли
- •12.3.4. Уравнения в полных диффернциалах Интегрирующий множитель
- •12.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •12.4.1.Основные понятия и определения. Задача Коши
- •12.4.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •12.5. Линейные уравнения второго порядка
- •12.5.1. Основные понятия и определения
- •12.5.2. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •12.6. Экономические приложения дифференциальных уравнений второго порядка
- •Литература
- •Оглавление
- •Глава I. Введение в анализ.
- •Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной.
- •Глава III. Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных.
- •Глава V. Функции нескольких переменных.
- •Глава VI. Неопределенный интеграл.
- •Глава VII. Определенный интеграл.
- •Глава VIII. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •Глава IX. Несобственные интегралы.
- •Глава XI. Функциональные ряды.
- •Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
7.2. Свойства определённого интеграла
Свойство 1.
Е сли функции – интегрируемы на [a, b], то функции также интегрируемы на [a, b] и .
Свойство 2.
Если функция интегрируема на [a, b], то функция , где – постоянная, также интегрируема на [a, b] и .
С войство 3.
Для интегрируемой на [a, b] функции верно равенство: .
С ледствие.
Для интегрируемой функции верно равенство .
Свойство 4.
Для любых чисел и интегрируемой функции выполняется
с войство аддитивности определённого интеграла относительно промежутка интегрирования: .
Свойство 5.
Е сли подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знака, то определённый интеграл сохраняет тот же знак, что и функция, то есть: если для всех , то .
Свойство 6. (Интегрирование неравенств).
Если для всех х и интегрируемы на [a, b], то верно неравенство .
Свойство 7.
Если функция интегрируема на [a, b], то верно неравенство
.
Свойство 8. (Оценка интеграла).
П усть функция интегрируема на [a, b] и для всех , тогда .
Свойство 9. (Теорема о среднем).
Е сли функция непрерывна на [a, b], то существует точка , такая, что верно равенство .
Свойство 10. (Формула Ньютона–Лейбница).
П усть непрерывна на , – какая-либо первообразная для неё, тогда .
П ример 7.4.
О ценим значение интеграла , не вычисляя его.
Найдём значения и для подынтегральной функции на отрезке [0, 2]. Для этого найдём стационарные точки.
откуда стационарной точкой на отрезке [0, 2] является точка ( ). Вычислим значения функции на границе отрезка: , следовательно, .
Таким образом получим 0,5∙2 ≤ ≤ 0,6∙2, или 1 ≤ ≤ 1,2.
П ример 7.5.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
Одна из первообразных подынтегральной функции равна , тогда
.
7.3. Основные методы вычисления определённого интеграла
1) Замена переменной в определённом интеграле.
Теорема 7.2.
Е сли функция непрерывна на отрезке и – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , причем a≤φ(t)≤b и φ(α)=a, φ(β)=b, тогда .
П ример 7.6.
Н айдем определенный интеграл заменой переменных.
П усть , тогда и, следовательно,
, .
Таким образом,
.
2) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Пусть функции – непрерывны вместе со своими производными на [a, b], тогда или .
П ример 7.7.
Найдем определенный интеграл: интегрированием по частям.
.
П ример 7.8.
Найдем определенный интеграл: интегрированием по частям.
.