Глава XI. Функциональные ряды
11.1. Основные определения и примеры
Определение 11.1.
Ряд
,
членами которого являются функции от
x,
определённые на множестве D,
называется функциональным
рядом.
Если числовой ряд
сходится при
,
то x0
называется точкой
сходимости
ряда.
Множество Х
всех точек сходимости ряда
называется областью
сходимости ряда.
Определение 11.2.
Если для любого
существует предел
,
где
- частные суммы ряда, то говорят, что ряд
сходится на
множестве
X
к S(x).
При этом функция S(x)
называется суммой
ряда
.
Для нахождения области сходимости ряда можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.
Пример 11.1.
Найдём область
сходимости ряда
.
Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при x>1 и расходится при x≤1. Областью X сходимости ряда является интервал (1; + ∞).
Пример 11.2.
Найдем область
сходимости ряда
.
Данный ряд является
геометрической прогрессией с q
= lnx,
которая сходится, если |q|
= |lnx|
< 1, откуда
.
Область X
сходимости ряда – интервал
.
Пример 11.3.
Найдем область
сходимости ряда
.
Для нахождения области сходимости данного ряда используем признак Даламбера, который применим лишь к рядам с положительными членами. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
и к нему применим
признак Даламбера (теорема 10.6).
Имеем
.
Ряд
будет сходиться, если
,
откуда -2<x+2<2
или
-4<x<0.
Тогда исходный ряд будет сходиться, и притом абсолютно в интервале
(-4,0).
При
этот ряд расходится, как не удовлетворяющий
необходимому признаку сходимости (q>1)
(следствие к теореме 10.2).
Если q=1, то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает и при x=-4 и x=0 ряд нужно исследовать особо.
При x=-4
из исходного ряда получим числовой ряд
=
,
который сходится как ряд Лейбница (см.
пример 10.15).
При х = 0 из ряда
получим
, который является гармоническим рядом,
а значит, расходится (см. пример 10.4.).
Итак, областью Х сходимости ряда будет промежуток [-4;0).
11.2. Степенные ряды. Свойства степенных рядов
Определение 11.3.
Степенным рядом
называется
функциональный ряд вида
,
то есть ряд, членами которого являются
степенные функции
.
Числа сn /R называются коэффициентами степенного ряда, х0 – центром степенного ряда.
Облостью Х сходимости степенного ряда является промежуток с центром в точке х0. При этом промежуток может быть открытым, полуоткрытым или замкнутым, то есть иметь вид (х0 – R, х0 + R), [х0 – R, х0+ R] соответственно (см. также пример 11.3). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Если степенной ряд сходится только в точке х0, то считают, что R = 0, если же ряд сходится не всей числовой прямой, то считают, что R = +∞.
В примере 11.3 был рассмотрен степенной ряд с центром х0 = -2. Областью Х сходимости ряда является полуоткрытый промежуток [-4; 0). Радиус сходимости данного степенного ряда равен 2.
Теорема 11.1.
Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке x его промежутка сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.
Теорема 11.2.
Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, содержащемся в промежутке сходимости.
Пример 11.4.
Найдем сумму ряда
.
Обозначим сумму этого ряда через S(x), то есть
S(x)= .
Легко показать,
что промежуток сходимости этого ряда
(-1;1). На основании теоремы 11.1 его можно
почленно дифференцировать в каждой
точке промежутка (-1;1):
.
Справа в этом равенстве сумма геометрической прогрессии.
Если |q|=|x|<1,
то
,
откуда
.
Зная, что S(0)=0,
получим 0=-ln(1-0)+c,
откуда c=0,
S(x)=-ln(1-x).
Пример 11.5.
Найдем сумму ряда 1-3x2+5x4-…+(-1)n-1(2n-1)x2n-2+….
Обозначим сумму ряда через S(x),то есть
S(x)= 1-3x2+5x4-…+(-1)n-1(2n-1)x2n-2+….
Этот ряд сходится на промежутке (-1;1).
На основании теоремы 11.2 его можно почленно интегрировать на любом отрезке [0;x] (-1;1).
.
Сумма последнего ряда есть сумма геометрической прогрессии, для которой q = -x2.
Таким образом
.
Продифференцируем
обе части этого равенства:
,
тогда имеем
,
откуда
1-3x2+5x4-…+(-1)n-1(2n-1)x2n-2+…= .