- •Предисловие
- •Глава I. Введение в анализ
- •1.1. Множества. Основные определения
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Функция одной переменной. Основные определения
- •1.4. Свойства функции
- •1.5. Способы задания функции
- •1.6. Элементарные функции
- •Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •2.1. Последовательность и ее предел
- •2.2. Предел функции в точке. Односторонние пределы
- •2 .3. Предел функции при . Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •2.4. Основные теоремы о функциях, имеющих конечные пределы
- •2.5. Замечательные пределы
- •2.6. Сравнение функций
- •2.7. Асимптоты кривой
- •2.8. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность
- •2.9. Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация
- •Глава III. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •3.1. Производная функции в точке. Односторонние производные
- •3.2. Геометрический смысл производной
- •3.3. Понятие бесконечной производной
- •3.4. Основные правила дифференцирования функций
- •3.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •3.6. Дифференциал функции
- •3.7. Дифференцирование параметрически заданной функции
- •3.8. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных
- •4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •4.2. Правило Лопиталя
- •4.3. Формула Тейлора
- •4.4. Возрастание и убывание функции
- •4.5. Экстремумы функции
- •4.6. Направление выпуклости кривой
- •4.7. Точки перегиба кривой
- •4.8. Построение графика функции
- •Глава V. Функции нескольких переменных
- •5.1. Понятие n-мерного координатного пространства
- •5.2. Определение функции нескольких переменных
- •5.3. Частные производные функции
- •5.4.Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •5.5 Дифференциал функции двух переменных
- •5.6. Частные производные высших порядков функции двух переменных
- •5.7. Экстремумы функции
- •Глава VI. Неопределенный интеграл
- •6.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •6.2. Основные свойства неопределенного интеграла
- •6.3.Таблица основных неопределённых интегралов
- •6.4. Основные методы интегрирования
- •1) Метод непосредственного интегрирования
- •2) Метод подведения под знак дифференциала
- •3) Метод замены переменной
- •4) Метод интегрирования по частям
- •6.5. Интегрирование простейших функций, содержащих квадратный трехчлен
- •6.6. Интегрирование рациональных дробей
- •6.7. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1) Интегралы вида
- •2) Интегралы вида .
- •3) Интегралы вида ,
- •6) Интегралы вида
- •6.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •3) Интегрирование дифференциальных биномов.
- •Глава VII. Определенный интеграл
- •7.1. Понятие определённого интеграла. Геометрический и экономический смысл определённого интеграла
- •7.2. Свойства определённого интеграла
- •7.3. Основные методы вычисления определённого интеграла
- •1) Замена переменной в определённом интеграле.
- •2) Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Глава VIII. Геометрические приложения определенного интеграла
- •8.1. Вычисление площади плоской фигуры
- •8.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Глава IX. Несобственные интегралы
- •9.1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)
- •9.2. Свойства несобственных интегралов I рода
- •, Где α, β – числа.
- •9.3. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
- •1) Признак сравнения.
- •9.4. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)
- •Глава х. Числовые ряды
- •10.1. Основные определения и примеры
- •10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Операции над числовыми рядами
- •10.3. Знакоположительные ряды
- •10.4. Знакочередующиеся ряды
- •10.5. Знакопеременные ряды
- •Глава XI. Функциональные ряды
- •11.1. Основные определения и примеры
- •11.2. Степенные ряды. Свойства степенных рядов
- •11.3. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена
- •Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •12.1 Основные понятия и определения
- •12.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Классификация решений
- •12.3 Дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной и диффернциальной форме
- •12.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •12.3.2. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
- •12.3.3. Линейные уравнения первого порядка Уравнение Бернулли
- •12.3.4. Уравнения в полных диффернциалах Интегрирующий множитель
- •12.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •12.4.1.Основные понятия и определения. Задача Коши
- •12.4.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •12.5. Линейные уравнения второго порядка
- •12.5.1. Основные понятия и определения
- •12.5.2. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •12.6. Экономические приложения дифференциальных уравнений второго порядка
- •Литература
- •Оглавление
- •Глава I. Введение в анализ.
- •Глава II. Предел и непрерывность функции одной переменной.
- •Глава III. Производная и дифференциал функции одной переменной.
- •Глава IV. Аналитические и геометрические приложения производных.
- •Глава V. Функции нескольких переменных.
- •Глава VI. Неопределенный интеграл.
- •Глава VII. Определенный интеграл.
- •Глава VIII. Геометрические приложения определенного интеграла.
- •Глава IX. Несобственные интегралы.
- •Глава XI. Функциональные ряды.
- •Глава XII. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
12.3 Дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной и диффернциальной форме
12.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Определение 12.8.
Пусть в уравнении функция может быть разложена на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной, то есть = или в уравнении M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 коэффициенты имеют вид
M(x,y)=M1(x)M2(y); N(x,y)=N1(x)N2(y).
Тогда такие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными.
Путем деления на f2(y) и на M2(y)N1(x) эти уравнения приводятся соответственно к виду .
Также дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделенными переменными.
Теорема 12.2.
Общим интегралом дифференциального уравнения с разделёнными переменными X(x)dx+Y(y)dy=0 является выражение .
Пример 12.3.
Решим дифференциальное уравнение .
Приведём уравнение к виду или .
Деля обе части на , приходим к уравнению с разделенными переменными . Интегриря обе части уравнения, получим , откуда .
При делении на могли быть потеряны решения x≡0 и y≡1. Очевидно, что y≡1 является решением уравнения, а x≡0 – нет.
Пример 12.4
Найдем частное решение дифференциальное уравнения ,
удовлетворяющее условию y(0)=1.
Имеем .
Разделяя переменные, получим , откуда .
Интегрируя, находим общий интеграл . Полагая в нём x=0, y=0, будем иметь , откуда C = . Подставляя в общий интеграл найденное значение С, получим частное решение , или .
Из начального условия следует, что y>0, (y(0)=1>0), поэтому перед корнем берем знак плюс, а значит, искомое частное решение .
Пример 12.5.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение и выделим интегральную кривую, проходящую через точку (0;b).
Разделяем переменные в уравнении, тогда получим , откуда
1) при , имеем
2) при находим решения уравнения: . Первое из этих решений частное, второе – особое.
Прежде чем выделить интегральную кривую, проходящую через заданную точку (0,b), заметим, что через эту точку проходит особое решение , так что в ней нарушается единственность решения.
Полагая в общем интеграле x=0, y=b,находим С=0, так что через заданную точку проходит две интегральных кривых и .
12.3.2. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним
Определение 12.9.
Однородной функцией m измерения называется функция , для которой верно равенство .
Определение 12.10.
Дифференциальные уравнения называются однородными, если есть однородная функция нулевого измерения, то есть .
Однородное уравнение всегда можно представить в виде .
Любой из подстановок или однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Например, вводя новую искомую функцию можно свести уравнение к уравнению , в котором переменные разделяются.
Если u≡u0, есть корень уравнеия = 0, то решением однородного уравнения будет u≡u0, или y=u0x.
Пример 12.6.
Решим дифференциальное уравнение .
Имеем однородное уравнение (заменяя в уравнении x и y на tx, ty, приходим к однородному уравнению).
Данное уравнение приводится к виду .
Положим , тогда , откуда .
Разделим переменные: . Интегрированием функций находим или . Подставляя , после преобразования получим общее решение .
При разделении переменных обе части уравнения делили на произведение , поэтому могли потерять решения, которые обращают в нуль это произведение.
Пример 12.7.
Проинтегрируем дифференциальное уравнение и выделим интегральные кривые, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).
Положим , тогда , так что
. Разделим переменные: , (u + 1 ≠ 0).
Интегрируя, получим или .
Заменив , получим общий интеграл уравнения в виде (семейство окружностей ).
При u+1 = 0 имеем (особое решение).
Решим поставленные задачи Коши:
а) полагая в x=2, y=2, находим С=2, так что искомое решение: .
б) ни одна из окружностей не проходит через точку (1;-1), зато полупрямая проходящая через эту точку и дает искомое решение.
Дифференциальные уравнения вида в случае приводится к однородным уравнениям с помощью замены переменных x=u+m, y=v+n, где m и n находятся из системы уравнений a1m+b1n+c1=0, a2m+b2n+c2=0.
Если в данном уравнении и, следовательно, a2x+b2y=λ(a1x+b1y), то оно примет вид .
Подстановкой это уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 12.8.
Решим уравнение .
Система m+n-2=0; m-n+4=0 имеет единственное решение m=-1, n=3. Замена x=u-1, y=v+3 приводит данное уравнение к виду , которое является однородным уравнением.
Полагая , получим , откуда .
Разделим переменные: . Интегрируя, находим или .
Возвращаясь к старым переменным x и y, получим или .
Пример 12.9.
Решим дифференциальное уравнение .
Система m+n+1=0; 2m-2n-1=0 несовместна. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , после чего уравнение принимает вид
.
Разделяя переменные, получим , откуда . Возвращаясь к переменным x, y получим общий интеграл данного уравнения
.