Нейтральные элементы
Пусть - бинарная операция на непустом множестве А.
def. Элемент е из А называется левым нейтральным относительно операции , если для любого а из А выполняется равенство е а = а.
def. Элемент е из А называется правым нейтральным относительно операции , если для любого а из А имеем а е = а.
def. Элемент е из А называется нейтральным относительно операции , если для любого элемента а из А верны равенства e a = a = a e.
Теорема 1. Если нейтральный элемент относительно операции существует, то он единственен.
Доказательство.
Следствие. Если нейтральный элемент относительно операции существует, то все левые и правые нейтральные элементы относительно с ним совпадают.
Примеры.
1) Число 0 есть нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. Число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения целых чисел.
2) На множестве Р(М) относительно нейтральный ; относительно нейтральный P(M).
Симметричные элементы
Пусть – бинарная операция на множестве А, обладающая нейтральным элементом е.
def. Элемент v из А называется левым симметричным к элементу а А относительно операции , если v a = e.
def. Элемент v из А называется правым симметричным к а относительно операции , если а v = е.
def. Элемент а’ А называется симметричным к элементу а А относительно операции , если а a' = е = a’ a. В этом случае элемент а называется симметризуемым, а элементы а и а’ – взаимно симметричными.
Примеры.
1) Относительно сложения целых чисел симметричным к данному целому числу является то же число, взятое со знаком «минус».
2) Относительно
умножения рациональных чисел симметричным
к нулевому числу а
является
;
число нуль не имеет симметричного
относительного умножения.
Теорема 2. Если операция ассоциативна и элемент a симметризуем, то существует единственный элемент, симметричный к а.
Доказательство.
Следствие. Если элемент a имеет симметричный элемент а’ относительно ассоциативной операции , то все левые и все правые симметричные к а элементы совпадают с элементом а’.
Аддитивная и мультипликативная форма записи
Наиболее часто используется аддитивная и мультипликативная формы записи бинарной операции. При аддитивной форме записи бинарную операцию называют сложением и пишут а + b вместо a b, называя элемент a + b суммой a и b. Элемент, симметричный элементу а, обозначают (-а) и называют противоположным элементу а. Нейтральный элемент относительно сложения обозначают символом 0 и называют нулевым элементом относительно сложения. При аддитивной записи свойства ассоциативности и коммутативности записывается в виде
a + (b + c) = (a + b) + c, a + b = b + a.
При мультипликативной форме записи бинарную операцию называют умножением и пишут a b (вместо а b), называется элемент a b произведением а и b. Элемент, симметричный а, обозначают а-1 и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через e и 1 и называют единичным элементом или единицей относительно умножения. При мультипликативной записи свойства ассоциативности и коммутативности записываются в виде a (b c)=(a b) c, a b = b a.
Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения записываются в виде (a + b) c = a c + b c, c (a + b) = c a + c b.