- •Тема 10. Системы координат в плоскости. Простейшие аффинные и метрические задачи
- •1. Введение в аналитическую геометрию
- •Классификация систем координат
- •2. Система координат на прямой Способы задания
- •Координата точки. Построение точки по ее координатам
- •3. Системы координат в плоскости. Аффинная система координат
- •Способы задания
- •Координаты точки. Построение точки по ее координатам
- •4. Аффинные задачи
- •5. Прямоугольная система координат
- •6. Метрические задачи
- •Практикум 1
Координата точки. Построение точки по ее координатам
Рассмотрим произвольную точку М прямой. Поставим ей в соответствие вектор и число х таким образом:
1) |х| – длина отрезка ОМ, тогда ОМ=| |=|х|;
2) х>0, если , т.е. точки М, Е1 принадлежат одному лучу [ОЕ1);
х<0, если , т.е. точки М и Е1 принадлежат различным лучам прямой х относительно точки О;
х=0, если = , т.е. точка М совпадает с точкой О.
Определение 1
Вектор называется радиус-вектором точки М
(1)
Определение 2
Число х в равенстве (1) называют координатой точки М в заданной системе координат и записывают М (х).
Всякому числу х можно поставить в соответствие единственную точку М прямой х, и наоборот, всякая точка М определяется единственным действительным числом х.
Пример 1. Построить точку М (–2).
Р
Рис.1.2.
Задача 1. Координата вектора
Дано: точки А(х1), В(х2).
Найти: координату х вектора , т.е. .
Решение. .
Рис.1.3.
.
Тогда ,
откуда . (2)
Координата вектора вычисляется как разность координат конца и начала вектора соответственно.
Задача 2. Вычисление длины отрезка
Дано: точки М1(х1), М2(х2) (рис.1.4).
Найти: длину отрезка М1М2.
Решение. .
Рис.1.4.
.
Длина отрезка М1М2 при любом расположении точек М1 и М2 может быть определена по формуле:
(3)
Задача 3. Деление отрезка в данном отношении
Определение 3.
Точка М делит направленный отрезок в отношении , если
(4)
Дано: точки М1(х1), М2(х2), ММ1М2, / R,
Найти: М /
Решение.
Рис.1.5.
Рассмотрим радиус-векторы точек (рис.1.5): .
Выразим радиус-вектор точки М: .
Если , т.е. , то (5)
По свойству координат вектора: .
Откуда
. (6)
Разделить отрезок М1М2, где М1(х1) – первая точка, М2(х2) – вторая точка, в данном отношении ( ) – значит, на прямой М1М2 найти такую точку М(х), для которой выполняется соотношение: .
Задача имеет решение при всех . Точка М принадлежит отрезку М1М2, если >0, и лежит вне отрезка М1М2, если <0. В первом случае будем говорить, что точка М делит отрезок М1М2 внутренним образом, во втором – внешним образом.
Если выразить по известным координатам точек М1, М2, М, то
. (7)
Задача 4. Вычисление координаты середины отрезка
Рассмотрим формулу (4). Так как М – середина отрезка, то , т.е. . Подставив в (6) получим:
. (8)
Координата середины равна полусумме координат его концов.
3. Системы координат в плоскости. Аффинная система координат
Пусть дано векторное пространство V3. Рассмотрим в нем двумерное векторное подпространство V2. В нем любые два неколлинеарных вектора могут образовать базис. Выберем на плоскости точку О и произвольный базис .
Определение 4.
Тройка О, , называется аффинной системой координат в плоскости (косоугольной) или аффинным репером.
Обозначается . Точка О – начало координат (рис.1.6), векторы , – базисные, прямые, проходящие через точку О параллельно базисным векторам – координатные оси: ось абсцисс х и ось ординат у, параллельные и соответственно.
Рис.1.6.
Рис.1.7.