- •Тема 10. Системы координат в плоскости. Простейшие аффинные и метрические задачи
- •1. Введение в аналитическую геометрию
- •Классификация систем координат
- •2. Система координат на прямой Способы задания
- •Координата точки. Построение точки по ее координатам
- •3. Системы координат в плоскости. Аффинная система координат
- •Способы задания
- •Координаты точки. Построение точки по ее координатам
- •4. Аффинные задачи
- •5. Прямоугольная система координат
- •6. Метрические задачи
- •Практикум 1
5. Прямоугольная система координат
Рассмотрим частный случай аффинной системы координат. Выберем на плоскости точку О и ортонормированный базис , где , .
Определение 7.
Тройка называется прямоугольной (декартовой) системой координат в плоскости или прямоугольным репером.
Обозначается .
Точка О – начало координат, векторы , – базисные, перпендикулярные прямые, проходящие через точку О параллельно базисным векторам – координатные оси: ось абсцисс х и ось ординат.
Для построения точки достаточно построить прямоугольник ОМхММу с диагональю ОМ.
6. Метрические задачи
В прямоугольной декартовой системе координат можно решать все перечисленные выше аффинные задачи на взаимное расположение точек на прямой и плоскости, а также задачи на вычисление расстояний и углов – метрические.
Задача 10. Вычисление расстояния между двумя точками
Дано: , М1(х1; у1), М2(х2; у2)
Найти: расстояние .
Р ешение. Расстояние между двумя точками М1 и М2 вычислим как длину отрезка М1М2 (рис.1.13), равную длине (модулю, абсолютной величине) вектора :
.
, значит,
.
Рис.1.13.
Тогда
(13)
Расстояние между двумя точками плоскости равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одноименных координат.
Пример 6.
Дано: М1(6; 0), М2(–2; 1).
Найти: расстояние М1М2.
Решение.
.
.
Задача 11. Вычисление площади треугольника
Дано: , А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3).
Найти: площадь треугольника АВС.
Решение (рис.1.14).
Рис.1.14.
.
Вычислим площади трапеций АхВхВА, ВхСхСВ, АхСхСА по формуле :
,
аналогично , .
Тогда
.
Точки А, В и С могут располагаться иначе, а определитель, составленный из их координат – положительным или отрицательным числом, поэтому
. (14)
Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то S=0 и, наоборот.
Пример 7.
Дано: А(6; 0), В(–2; 1), С(2; 7).
Найти: .
Решение.
. .
Литература и задания практикума (по УМК):
-
[2]
гл.1, §1
№ 9-14
[10]
гл.1, §1
№ 1-25
[2]
гл.1, §1
№ 15-25,37-39
[10]
гл.1, §1
№ 41-61,73-85
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2-х частях : учеб. пособие / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высшая школа, 1998. – Ч.1.
8. Сборник задач для самостоятельной работы по геометрии / авт.-сост. Т.М. Соромотина. – 2-е изд. – Пермь : Изд-во ПГПУ, 2008.
10. Цубербиллер О.Н. Сборник задач и упражнений по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – 32-е изд. – СПб. : Лань, 2005.
Практикум 1
Постройте в аффинной системе координат точки A(3; 5), B(–4;–2), C(1;–3).
Выясните лежат ли точки A(3; 5), B(–4;–2) и М(9; 11) на одной прямой.
Найдите координаты точки К – середины отрезка АВ, если A(3; 7) и B(1; 7).
Найдите координаты точки М, которая делит отрезок АВ, где А(3; 5), В(9; 8), в отношении: а) , б) , в) . Постройте точки.
Постройте в прямоугольной системе координат точки A(3; 5), B(–4;–2), D(–2;–2), E(–6; 0), K(0; 3).
Найдите расстояние между точками: а) A(–3;–5) и B(2; 7); б) A(2; 7) и B(6; 4).
Найдите координаты центра тяжести треугольника с вершинами А(3; 2), В(–1;–1), С(11;–6).
Вычислите длины сторон и площадь треугольника с вершинами А(3; 2), В(–1;–1), С(11;–6).
Докажите, что треугольник с вершинами О(0; 0), А(3; 1), В(1; 7) –прямоугольный.
Найдите координаты вершин квадрата, диагональ которого равна 6 см, точка пересечения диагоналей находится в начале координат, а диагонали лежат на осях координат.