Оптимизация процесса диагностирования методом динамического программирования
Диагностирование есть управляемый дискретный многошаговый процесс. Он обладает свойствами марковского процесса, так как любое его последующее состояние полностью определяется предыдущим состоянием и выбранной в нем проверкой. Кроме этого задача диагностирования допускает декомпозицию на относительно самостоятельные подзадачи меньшей размерности. Любая программа диагностирования может быть представлена как композиция отдельных подпрограмм, которые начинаются с промежуточных информационных состояний.
Оптимизация таких процессов производится различными методами дискретного программирования. Но наиболее общим методом оптимизации процесса, обладающего свойствами марковского и допускающего декомпозицию, является динамическое программирование.
Для применения метода динамического программирования целевую функцию необходимо преобразовать к виду, пригодному для оценивания эффективности подпрограммы диагностирования, начинающейся с любого информационного состояния Rk = Ek.
Реализация Rk –подпрограммы диагностирования начинается с выполнения проверки πj Π, которой может быть любая проверка из множества Πk (множества проверок, разрешенных в информационном состоянии Rk). Вероятность правильного диагностирования по Rk –подпрограмме будет зависеть от того, какая проверка πj будет выбрана из числа разрешенных в состоянии Rk. Формула для оценки вероятности правильного диагностирования по Rk –подпрограмме, начинающейся с выполнения проверки πj имеет вид
,
(24)
где
–
вероятность правильного определения
i-го
вида технического состояния объекта
по i-й
ветви Rk
–подпрограммы,
начинающейся с проверки πj;
Pk(Ei)
– вероятность i-го
вида технического состояния объекта,
уточненная по результатам предыдущих
проверок, с помощью которых реализован
переход от начального информационного
состояния к рассматриваемому состоянию
Rk.
Смысл данного уточнения состоит в том, что множество Ek видов технического состояния, с одним из которых впоследствии идентифицируется текущее состояние объекта, по мере выполнения проверок уменьшается, поэтому их исходная вероятность P(Ei) повышается. Следовательно, в каждом вновь получаемом подмножестве Ek требуется пересчет вероятностей входящих в него элементов Ei с тем, чтобы выполнялось условие
.
Данное условие отражает тот факт, что если в результате выполнения проверок получено подмножество Ek, включающее ряд элементов Ei, то среди них обязательно найдется такой, с которым идентифицируется текущее состояние объекта. Введенное условие есть не что иное, как условие нормировки вероятностей видов технического состояния, а следовательно, уточненная вероятность определяется по формуле
,
i:
Ei
Rk.
(25)
Условие выбора оптимальных проверок имеет вид
.
(26)
Условные вероятности в выражении (24) определяются по формуле Байеса (аналогия с выражениями (21) и (22) для всей программы диагностирования):
,
i:
Ei
Rk.
(27)
Справедливость применения формулы Байеса вытекает из следующего факта. События, которые характеризуются условными вероятностями , можно рассматривать как гипотезы, выдвигаемые относительно нахождения объекта в i-м виде технического состояния в то время, как он действительно находился в этом состоянии с априорной вероятностью P(Ri)=P(Ei). Число выдвигаемых гипотез равно числу элементов подмножества Rk, а их апостериорные вероятности и определяются из выражения (27).
Обратные
условные вероятности
в выражении (27) характеризуют вероятности
ошибочных решений при диагностировании,
когда по результатам проверок πj
Πik
вместо f-го
вида
технического
состояния, в котором находится объект,
фиксируется i-й
вид
технического
состояния (вместо f-й
ветви Rk
– подпрограммы реализуется ее i-я
ветвь). Данные вероятности представляются
как произведения
,
(28)
в котором сомножители γif(πj) определяются через вероятности ошибок первого и второго рода производимых проверок следующим образом:
(29)
Процесс выбора проверок начинается с информационных состояний, содержащих по два элемента. Выбираемая проверка находится из условия (26), т.е. условия обеспечения максимального значения целевой функции. В информационных состояниях, включающих три элемента, к уже найденной проверке добавляется новая, которая также выбирается из условия (26). В аналогичном порядке процесс выбора проверок, а следовательно, и контролируемых признаков продолжается до начального информационного состояния R = E. Следует иметь в виду, что в каждом информационном состоянии проверки могут выбираться только из множества попарно различимых между собой проверок (т.е. допустимых проверок)
Πk ={πj| πj Π, Ei, Ef Rk: eij ≠ efj}. (30)
В процессе обратного прохождения из начального информационного состояния к конечным непосредственно формируется программа диагностирования.
Приведенная формулировка оптимизационной задачи позволяет в любом из рассматриваемых информационных состояний Rk выбрать наиболее эффективную проверку в смысле выбранного критерия. Такая возможность вытекает из принципа оптимальности Беллмана, согласно которому проверка, выбираемая в конкретном информационном состоянии должна быть оптимальной вне зависимости от того, каковы были предшествующее информационное состояние и выбранная в нем проверка.
Пример. Построить оптимальную программу диагностирования системы, функциональная схема которой представлена на рис.1. Выходные параметры каждого из блоков доступны для контроля. Проверка каждого контролируемого признака имеет два возможных исхода:
- = 1, если yj Δj (Δj – допустимый интервал (2));
- = –1 , если yj Δj.
Изображения всех рассматриваемых видов технического состояния, вероятности ошибок первого и второго рода проверок, а также вероятности видов технического состояния приведены в табл.1.
Таблица 1.
Исходные данные (5) - (9) для построения оптимальной программы диагностирования
-
E
P(Ei)
Π
А
В
E0
0,619
π1
0,012
0,02
E1
0,039
π2
0,03
0,05
E2
0,054
π3
0,07
0,08
E3
0,109
π4
0,02
0,03
E4
0,084
π5
0,01
0,008
E5
0,026
π6
0,06
0,09
E6
0,069
E0 - изображение работоспособного вида технического состояния; E1… E6 – изображения неработоспособных видов технического состояния, соответствующих отказам блоков 1…6.
Решение.