3. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в сосуде, неподвижном относительно Земли (рис.3.4).

Для рассматриваемого случая действующей на жидкость массовой силой является только сила тяжести.

Направив ось OZ вертикально вверх, получим F_x = 0, F_y = 0, , а подставив полученные величины в уравнение (3.1), получим:

,

что можно переписать в виде:

. (3.5)

Интегрируя дифференциальное уравнение (3.5), получаем:

, (3.6)

где С – постоянная интегрирования.

Значение постоянной интегрирования С определяется из известных граничных условий: р = р₀ при z = z₀. Подставляя эти условия в уравнение (3.6), имеем:

. (3.7)

Подставляя выражение (3.7) в (3.6) получаем:

, (3.8)

или с учетом :

. (3.9)

Уравнение (3.8) называется основным уравнением гидростатики. Уравнение (3.9) представляет вторую форму основного уравнения гидростатики.

Основное уравнение гидростатики является математическим выражением закона распределения гидростатического давления в жидкости: гидростатическое давление в некоторой точке, погруженной на глубину h относительно свободной поверхности, равно сумме внешнего давления р₀, действующего на свободную поверхность жидкости, и давления столба жидкости высотой, равной глубине погружения рассматриваемой точки h, с площадью основания, равной единице.

4. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Ордината z рассматриваемой точки жидкости отсчитывается от произвольной горизонтальной плоскости XOY, принятой в качестве координатной. В гидравлике эту плоскость называют плоскостью сравнения, а отсчитанную от нее координату z точки – геометрической высотой точки или геометрическим напором в данной точке жидкости.

Величина имеет линейную размерность и представляет собой геометрическую высоту, на которую поднимется жидкость под действием давления р. Указанную высоту можно измерить, если подсоединить к сосуду трубку, из которой полностью удален воздух. Жидкость в трубке поднимется на высоту . Если трубка открыта и давление на свободной поверхности равно атмосферному, то жидкость в трубке поднимется на высоту , соответствующую избыточному давлению (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Графическая иллюстрация напоров жидкости в сосуде при р₀  р_атм

Высота соответствует давлению р. Высота называется пьезометрической высотой. Высота, соответствующая давлению р_вак, называется вакуумметрической высотой. Эта высота может быть измерена с помощью простейшего вакуумметра (рис. 3.6).

Сумму высот называют гидростатическим напором Н. Пьезометрический напор Н_п меньше гидростатического напора на высоту, соответствующую атмосферному давлению, .

Отложив от плоскости сравнения по вертикали отрезки для различных точек покоящейся жидкости, обнаружим, что геометрическое место концов таких отрезков будет представлять собой горизонтальную плоскость, расположенную на расстоянии от плоскости сравнения. Такая плоскость называется плоскостью гидростатического напора, а если откладывать отрезки , – то плоскостью пьезометрического напора.