4. Полуэмпирическая теория турбулентности л. Прандля

В настоящее время существует несколько гипотез, позволяющих получить зависимости между турбулентными касательными напряжениями и осредненными скоростями турбулентных потоков. Эти гипотезы получили название теорий турбулентности.

Одной из наиболее распространенных теорий турбулентности является полуэмпирическая теория Л. Прандтля, предложенная им в 1925 г. Она основана на представлении о том, что при турбулентном перемешивании количество движения массы, переносимой в потоке за счет поперечной пульсационной составляющей скорости, остается неизменным на некотором пути, а затем изменяется скачком. Длина этого пути – так называемая длина пути перемешивания l. Предполагается, что это расстояние проходит моль жидкости, не взаимодействуя с другими молями и сохраняя постоянным свое осредненное количество движения.

После прохождения этого пути моль жидкости смешивается с жидкостью другого слоя, отдавая ей разницу количества движения. Длина пути перемешивания имеет аналог в виде длины свободного пробега молекулы в молекулярно-кинетической теории. Но при этом средняя длина пробега молекул мала по сравнению с размерами поперечного сечения, а размеры турбулентных: вихрей (образований) могут быть сопоставимы с размерами сечения.

Длина перемешивания – геометрическая величина, которая характеризует внутреннюю структуру потока при турбулентном движении, ее рассматривают как один из масштабов турбулентности.

Р ассмотрим турбулентный установившийся поток (рис. 6.6). Ось ОХ совпадает с направлением осредненного движения.

Через площадку ω, выбранную в потоке нормально к оси 0Z, переносится жидкость со скоростью . Масса перенесенной за время t жидкости:

.

Если продольная скорость этой массы до пересечения границы , а количество движения , то согласно гипотезе Прандтля значения этих величин остаются неизменными на пути l, а затем изменяются. В теории Прандтля l предполагается малой. На расстоянии l от площадки ω осредненная скорость потока равна , а количество движения массы равно:

.

Применив теорему о количестве движения, придем к выводу, что на пути l на перемещающуюся массу действовала продольная сила Т_турб:

или .

Эту силу называют силой турбулентного трения.

Модуль касательного напряжения:

.

Общее касательное напряжение при турбулентном режиме движения равно сумме чисто вязкостного напряжения _лам и _турб. Тогда:

. (6.1)

При ламинарном движении нет перемешивания в жидкости:

.

При развитом турбулентном движении, когда происходит интенсивное перемешивание в жидкости, второй член в (6.1) существенно больше, чем первый, и можно пренебречь. Тогда:

.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

«ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ»

Цель работы:

1. Наблюдение ламинарного и турбулентного движения жидкости.

2. Определение значений числа Re при ламинарном и турбулентном движении.

3. Определение критического значения числа Re_кр

Общие сведения

Рядом исследователей (Хагеном в 1839, 1854 гг., Д.И. Менделеевым в 1880 г.) было отмечено существование принципиально различных режимов движения жидкости. Исследования англичанина Рейнольдса (1883 г.) позволили выяснить сущность этих различий.

Установка О. Рейнольдса представляла резервуар (см. рис. 1) из которого по стеклянной трубе диаметром d вытекала вода, среднюю скорость υ которой можно было регулировать. В эту трубу из сосуда А по трубке малого диаметра подавалась краска. В результате опытов было установлено:

1. при υ < υ_к краска, перемещаясь с водой, двигается или тонкой струйкой или отдельными слоями. Такое движение было названо ламинарным;

2. при υ > υ_к краска равномерно распределяется по всему объему жидкости. Движение частиц жидкости в этом случае носит неустановившийся характер и называется турбулентным.

С корость υ_к, при которой в данной трубе происходила смена режимов движения, была названа критической.

О. Рейнольдс установил, что в трубах различного диаметра для жидкостей с различной вязкостью смена режимов осуществляется при одном и том же значении безразмерного комплекса критерия Рейнольдса Re определяемого по формуле:

,

где d – диаметр трубопровода;

 – кинематический коэффициент вязкости жидкости.

Скорость, при которой происходит переход турбулентного режима в ламинарный, называется нижней критической скоростью , а число Рейнольдса, соответствующее критической скорости называется критическим числом и принимает значение 2320:

.

В случаях, когда живое сечение потока отличается от круглого, а так же при наличии близко расположенных местных сопротивлений (вентилей, поворотов, золотников, клапанов и т.д.) может быть меньше 2320.

Но учитывая, что найденное для всегда меньше или равно 2320, это значение принимается при расчетах за критическое.

Таким образом, для Re < 2320 движение принято считать ламинарным, а для Re > 2320 – турбулентным.

При различных режимах движения имеют место различные зависимости между потерями напора и средними скоростями движения. При ламинарном движении потери напора пропорциональны первой степени скорости, с при турбулентном – скорости в степени m, причем 1,75 < m < 2.