- •Глава I. Числовые множества. 1
- •§1. Множества : символика, операции; числовые множества nìzìqìr
- •§2 Множество комплексных чисел(к.Ч.) : определения, аксиомы, комплексная плоскость; rìc.
- •§3. Алгебраическая форма к.Ч.; арифметические операции с к.Ч.
- •§4. Тригонометрическая и показательная формы к. Ч. ; аргумент к. Числа.
ОФ-ВМ-1 «Алгебра» 1
Глава I. Числовые множества. 1
Введение. 1
§1. Множества : символика, операции; числовые множества NÌZÌQÌR 2
§2 Множество комплексных чисел(к.ч.) : определения, аксиомы, комплексная плоскость; RÌC. 4
§3. Алгебраическая форма к.ч.; арифметические операции с к.ч. 6
§4. Тригонометрическая и показательная формы к. ч. ; аргумент к. числа. 8
§5.Решение двучленных zn=a и квадратных z2+bz+c=0 уравнений в С; основная теорема алгебры. 11
ОФ-ВМ-1 «Алгебра»
Глава I. Числовые множества.
Введение.
Алгоритм курса ВМ. Символические обозначения.
Пусть А,В – утверждения, высказывания
1) импликация ==>
AB :«из А следует В», «если А, то В»;
2) равносильность, эквивалентность
AB «А и В равносильны»,
«одновременно: A=>B и B=>A»;
3)дизъюнкция V A V B : «хотя бы одно их двух», «А или В»
4) конъюнкция А В : «А и В одновременно»
5) квантор существования - «существует», «найдется»
а:А(а) : «существует (найдется) такое а, для которого имеет место А(а)»;
6) ! – «существует единственное», «существует и единственно»
!а:А(а) : «существует (найдется) такое единственное а, для которого имеет место А(а)»;
7) квантор всеобщности -«для любого», а:А(а) :«для любого а верно А(а)»;
=
8) - «обозначим», «по определению»: f(х)=xsin(2x).
Например, символьная запись а0 b: ab=1 определяет «обратное число» : «для любого не равного нулю числа а существует такое «обратное число b», что их произведение равно единице».
----------------------------------------------------------
Д/З: запишите в символьном виде теорему: «Если дискриминант D квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен нулю, уравнение имеет единственное решение».
§1. Множества : символика, операции; числовые множества nìzìqìr
Множество, система, совокупность, набор – исходные непределимые понятия. Говорят: «множество целых чисел», «система уравнений», «набор инструментов», «совокупность решений» т т.п.
Множество считается заданным, если указаны все его элементы, например A={a;F(a)} - задано «условию принадлежности» F(a). Для числовых множеств в качестве F(a) используют список, уравнение, неравенство.
Введем для множеств символьные обозначения.
Символы принадлежности “”, “” – «(не)принадлежит», «(не)является элементом» множества.
Например, множество A={1,2,{3,4}} имеет три элемента: 1А; 2A;{3,4)A, но 3А. X={x; x3-6x2+11x-6=0}={1,2,3} - множество решений уравнения F(x) : x3-6x2+11x-6=0.
«» - “пустое множество”(множество, не имеющее ни одного элемента !!). например, , НО не допустима записьx !!! «Квадратное уравнение х2+1=0 во множестве R решений НЕ ИМЕЕТ»
Символ включения «»: - «множество А содержится в В, является подмножеством (частью) множества В»;
например, A={1,2,{3,4}} 2A, НО {2}A.
Очевидно, что
ПустьA={a}; B={b} и C={c}. Элементы множества изобразим внутренними точками “круга Эйлера”
a dA
A
Введем операции над множествами :
1.Равенство множеств «=» : А = В Û "аÎА "bÎB (аÎB bÎA)
2. Объединение множеств «È»: AÈB = C Û "cÎC ( cÎA V cÎB)
«Объединением множеств называется множество, состоящее только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (А ИЛИ В).»
3. Пересечение множеств «Ç»: AÇB = C Û "cÎC (cÎB cÎA)
4. Разность множеств « /» : C = A / B Û "cÎC(cÎB cÏB)
BA C=AB C=AB C=A/B
«ЗНАНИЕ»: в средней школе введены числовые множества:
N={1,2,…} - множество натуральных чисел,
Z={0,±1,±2,…} - множество целых чисел,
Q={} - множество рациональных чисел(рац. дробей),
R - множество вещественных (действительных) чисел,
Во множестве вещественных (действительных) чисел R:
[1]введены специальные обозначения-интервалы : ]a,b[ , [a,b], [a,b[, ]a,b] - открытый, закрытый, открытый справа и /или слева.
[2]определены операции:
равенства “=”, сложения “+”, вычитания “-“,сравнения (неравенства строгие >, < - «больше, меньше» и нестрогие ; - « не больше, не меньше”; 2 3 – «2 не больше 3» !!), умножения “x”, деления “:”(исключая деление на число «0»), возведения в натуральную степень aRnN:an=aa…a;
[3] определены: “модуль числа |a|”: ;
и “арифметическое значение корня натуральной степени”
[4] не определено деление на ноль;
[5] каждой точкечисловой прямой поставлено в соответствие единственное вещественное число - ее координата;
В дальнейшем будем отождествлять точку числовой прямой М(х) и вещественное число xи будем, например, говорить:sin(2) «значение функции “sin” в точке х=2».
--------------------------------------------------------------------