§4. Тригонометрическая и показательная формы к. Ч. ; аргумент к. Числа.

Известно, что между точкой комплексной плоскости и соответствующим к. числом существует взаимно-однозначное соответствие M(x,y)z=(x,y)C.

Введем на комплексной плоскости одновременно две системы координат –прямоугольную (оси абсцисс X=Rez и ординат Y=Jmz) и полярную (полюс О и полярная ось ОХ).

Точка на плоскости определяется

либо ее прямоугольными координатами - абсциссой и ординатой- M(x,y),

либо ееполярными координатами – длиной радиус-вектора точки и полярным углом φ -M(r,φ), причем

Так как полярный угол точки определен не однозначно ₀+2к; kZ; |₀|<2, для взаимно-однозначного соответствия точки и ее полярных координат в качестве полярного угла будем принимать ₀: |₀|<2.

В дополнение к обозначениям x=Rez; y=Imz; ,введем для комплексного числа Z=C еще два

определения:

Argz==₀+2к;kZ– аргумент к.ч.;

argz=₀; |argz|<2 -главное значение аргумента к.ч.

Между Rez, Imz, |z| и argz=₀ существуют следующие соотношения:

"»Воспоминания»: tg(-₀)=- tg(₀)

0,рад	/2	/3	/4	/6	0
tg(0)	+	3	1	1/3	0

Например,z=1+j₀= arg(1+j)=π/4; =Arg(1+j)= π/4+2kπ; kZ.

Д/З: найти значения argz для множеств положительных и отрицательных вещественных чисел.

Из алгебраической формы к.ч и соотношений 2) следует тригонометрическая форма к. числа: zC/{0}: z=(x,y)=|z|(cos(₀)+jsin(₀))

Кроме того, в третьем семестре будет доказана формула Эйлера

Из формулы Эйлера и тригонометрической формы следует показательная форма к. числа: Например,

----------------------------------------------------------------------------

Замечания.

1)Условия равенства к. чисел :

(а)в алгебраической форме -

(б)в показательной и тригонометрической формах

2) Алгебраичесая форма предпочтительна при сложении и вычитании к. чисел;

показательная и тригонометрическая формы «удобны» в операциях умножения, деления и возведения к.чисел в натуральную степень, при этом:

(а) модули, соответственно, перемножаются, делятся или возводятся в степень - ;

(б) аргументы, соответственно, складываются, вычитаются или умножаются на показатель степени -

3) Так как е^2kj=1, в записи конечного результата операций в показательной (тригонометрической) форме используется главное значение аргумента ₀; |₀|<2: z=|z|exp[₀+2k)j]=|z|exp(₀j)=|z|(cos(₀)+jsin(₀)).

Экз. задача. “Найти Rez, Imz, |z|, argz и записать три формы к. числа.

§5.Решение двучленных zⁿ=a и квадратных z²+bz+c=0 уравнений в С; основная теорема алгебры.

Пусть задано в показательной форме к. число a=|a|e^jφa. Решение уравнения zⁿ=a; будем искать так же в в показательной форме:

Первое уравнение имеет единственное решение -арифметическое значение корня степени «n» из неотрицательного числа: 1) !

Второе же уравнение системы имеет множество решений:

Однако, с учетом того, что e^2kj=1, различным комплексным числам соответствуют лишь “n” значений аргумента: так как, например,

Таким образом,

.

Следовательно, во множестве к. чисел двучленное уранениеzⁿ=a; имеет ровно «n» различных решений. Эти решения имеют одинаковые модули, а их аргументы отличаются на величину, кратную величине . На комплексной плоскости решения уравнениярасполагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса r=.

Например, - решения двучленного квадратного уравнения -противоположные к. числа,

Основная теорема алгебры. «Полином степени «n”

имеет ровно «n” корней , считая совпадающие («кратные») корни, и единственным образом представляется в виде произведения

».

Например, 1)

2) z²+1=(z-j)(z+j).

Рассмотрим квадратное уравнение az²+bz+c=0; a#0. Выделим по первым двум слагаемым «полный квадрат» и приведем уравнение к двучленному квадратному.

Обозначим к. число и запишем решения уравнения (*) в виде

Замечание. Для квадратного уравнения с вещественными коэффициентами имеют место следующие формулы:

1) Если D>0 ( φ_F=0), получим известную формулу корней квадратного уравнения с положительным дискриминантом

Если D<0 (φ_F=π), - комплексно-сопряженные числа !!!;

например,

--------------------------------------------------------------------

Экз. задача. 1) Найти и изобразить на к. плоскости все корни уравнения z³+1=0.

(z1=-1; z_2,3=0.5(1). 2) Решить уравнение z²+2z+5=0 и доказать, что полученные числа - корни уравнения.

Экз.+1. «Решив биквадратное уравнение z⁴+z²+1=0, (а)записать три формы всех его решений; (б)изобразить решения на ; (в) записать разложение на множители полинома P₄(z)= z⁴+z²+1. (z{(1j3)/2}={exp(j/3)}={[cos(/3)+jsin(/3)]}