Методика расчета
1.Расчет структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей.
Общее задание.
Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем электрическом поле Е0, перпендикулярном к его оси. Заданы характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов и и полей Еi и Еe, соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10 линий) в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела.
Найти вектор электрической индукции D в точке М.
Параметры задачи
Бесконечный диэлектрический цилиндр в диэлектрической среде,
R=3см=0,03м, Е0=20 , =2, =8
К оординаты точки M: r=2см=0,02м, =45
Решение
Решение проводится в цилиндрических координатах, связанных с центром основания цилиндра, r — радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля (рис. 1.1).
Потенциал поля не зависит от координаты z. Учитывая это, запишем уравнение Лапласа:
(1.1)
Внутри и вне цилиндра сторонних зарядов нет, поэтому следует решать уравнение Лапласа с соответствующими граничными условиями на поверхности r=R.
Решим уравнение (1.1) методом разделения переменных, в соответствии с которым решение будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:
(1.2)
После подстановки выражения (1.2) в (1.1) получается
Умножая на получим:
Это равенство не должно нарушаться, если одну из независимых переменных r или произвольно менять, а другой придать произвольное, но постоянное значение:
(1.3)
(1.4)
Этим самым решение уравнения (1.1) с частными производными сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Прежде всего надо найти частные решения уравнений (1.3) и (1.4) для p=0. Обозначим их M0 и N0, и в результате получим:
Т. к. потенциал является четной функцией относительно , т. е.: то необходимо принять
Если взять, согласно равенству (1.2), произведение функций и и изменить обозначение постоянных, то можно получить частное решение уравнения Лапласа в виде:
(1.5)
Пусть теперь постоянная разделения p в уравнениях (1.3) и (1.4) отлична от нуля.
Для решения уравнения (1.3) применим подстановку Эйлера Первая и вторая производные соответственно будут равны:
Подставим производные в уравнение
или (1.6)
Значение p определим при интегрировании уравнения (1.4):
(1.6`)
Решение его можно записать в виде .
Так как, если записать уравнения (волновое) гармонического осциллятора, то:
подставим их в уравнение (1.6`) :
отсюда к2=-р , (характер. ур.)
отсюда следует к=i.
N=N0(cos(a)-jsin(a))=N0cos(a)-jN0sin(a)
Отбрасуем -jN0sin(a) так как из условии азимутальной симметрии у нас по (а) парная функция.
N= N0cos(a)
Убедимся в этом путем подстановки и одновременно найдем значение p:
Следовательно, p = 1.
После нахождения числа p подставим его в (1.6) и найдем n: и
Таким образом, совместное решение уравнений (1.3) и (1.4) при p, не равном нулю, дает следующее выражение для
(1.7)
Полное решение:
(1.8)
Найдем значения С1, С2, С3 и С4. Величины, служащие для описания поля внутри цилиндра, обозначим с индексом i, а величины, с помощью которых записывается потенциал во внешней по отношению к цилиндру области, - с индексом e. Таким образом, для внутренней области:
(1.9)
Для внешней области:
(1.10)
Надо найти 8 постоянных интегрирования. Потенциал на бесконечности в этом случае:
Сопоставим последнее выражение с (1.10):
откуда
Из граничных условий и , при находим, что
, .
Тогда внутри цилиндра ,
потенциал
а внутри цилиндра, то
Тогда потенциал вне цилиндра будет равен
Еi=0.
Еe= 49236,8 В/м
Вектор электрической индукции в точке М (r=0,02м, =45):
D=