Міністерство освіти і науки України
Сумський Державний Університет
Кафедра комп’ютерних наук
Курсова робота з дисципліни «Чисельні методи» на тему:
«Чисельні методи визначення кратних інтегралів»
Виконала ст. гр. Ін-91
Пальчех М. В.
Перевірила викладач к.к.н.
Назаренко Л. Д.
Суми 2011
План
Інформаційний огляд теми
Викладення методу
Реалізація методу на прикладі
Програмна реалізація
Пакетна реалізація
Висновки і результати
Список використаних джерел
Інформаційний огляд теми
У великій кількості наук, таких як фізика, хімія, математика, економіка, оптимізація, теорія управління та ін. існує безліч задач, які пов’язані з чисельним інтегруванням. Чисельне інтегрування застосовується тоді, коли:
Сама підінтегральна функція не задана аналітично. Наприклад, вона представлена у вигляді таблиці (масиву) значень у вузлах деякої розрахункової сітки.
Аналітичне подання підінтегральної функції відомо, але її первісна не виражається через аналітичні функції. Наприклад, .
До задач, які вирішує інтегрування, відносяться, як правило, задачі на знаходження площі, маси, щільності, об’єму, задачі, що пов’язані з простором великої розмірності (у теорії струн) , а також задачах, де є системи з багатьма степенями свободи.
Чисельне інтегрування – обчислення значення (як правило наближеного) визначеного інтеграла, засноване на тому, що величина інтеграла чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції.
Задача полягає в заміні підінтегральної функції , для котрої важко або неможливо записати первісну у аналітиці, деякою апроксимуючою функцією Такою функцією зазвичай є кусочний поліном . Тобто , де - апріорна похибка методу на інтервалі інтегрування, а - апріорна похибка методу на окремому кроці інтегрування.
Кратний інтеграл або ж багатократний інтеграл степеня n, це визначений інтеграл по n змінних з функції n змінних:
.
Існує велика кількість методів чисельного обчислення кратних інтегралів. Ці методи називають кубатурними. Їх можна поділити на декілька груп:
Методи Н’ютона-Котеса.
Тут - поліном різних степенів. До цієї групи відносять також метод Сімпсона, метод сіток.
Методи статичних випробувань (Методи Монте-Карло).
Вузли сітки для кубатурного інтегрування вибираються за допомогою датчика випадкових чисел, відповідь носить імовірнісний характер. В основному застосовуються для обчислення кратних інтегралів. Цей метод дуже доречно використовувати при кратності інтеграла >3.
Сплайнові методи.
Тут - кусковий поліном з умовами зв'язку між окремими поліномами за допомогою системи коефіцієнтів.
Методи найвищої алгебраїчної точності.
Ці методи забезпечують оптимальну розстановку вузлів сітки інтегрування і вибір вагових коефіцієнтів в задачі . Сюди відноситься метод Гауса-Крістофеля (обчислення невласних інтегралів) і метод Маркова.
Мене дуже зацікавив метод чисельного інтегрування Монте-Карло тим, що за допомогою нього можна вирішити дуже складні задачі, пов’язані з інтегруванням функцій великої розмірності, задачі, які дуже складно вирішити іншими методами, так як їх використання не є доцільним із-за швидкого росту зростання числа точок сітки та/або складної границі інтегрування.
Викладення методу
Для того, щоб зрозуміти суть методу, потрібно розібратися в понятті математичного сподівання.
Математичне сподівання – міра середнього значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як .
Метод Монте-Карло для обчислення інтегралів заклечається в генеруванні випадкових точок та усереднюванні значення функції в них.
Припустимо, потрібно обчислити визначений інтеграл . Розглянемо випадкову величину , рівномірно розподілену на відрізку інтегрування . Тоді так само буде випадковою величиною, причому її математичне сподівання виражається як , де - щільність розподілу випадкової величини , що дорівнює на ділянці .
Таким чином, шуканий інтеграл виражається як .
Але математичне очікування випадкової величини можна легко оцінити, змоделювавши цю випадкову величину і порахувавши вибіркове середнє.
Отже, кидаємо точок, рівномірно розподілених на , для кожної точки обчислюємо . Потім обчислюємо вибіркове середнє: .
У підсумку отримуємо оцінку інтеграла: .
Точність оцінки не залежить від вигляду підінтегральної функції чи від кратності інтегралу. Вона залежить тільки від кількості точок . Похибку методу розраховують за формулою Цю похибку можна зменшити, якщо збільшити кількість випробувань n або застосовуючи додатково деякі методи з теорії ймовірностей(методи істотної вибірки або випадкового
блукання).
Двукратні інтеграли будуть обчислюватись по формулі .
Інтеграли, кратність яких більше 2, будуть обчислюватись аналогічно.