1.8. Основные проблемы измерений

Пусть объекты измерения образуют эмпирическое множество А_Е ={а₁, а₂,… а_N}. Пусть на множестве пар А_Е x А_Е определено отношение P_Е , например, в любой паре (а_i, а_j)  А_Е x А_Е указан более предпочтительный объект и тогда а_{i } а_j. Тогда множество объектов А_Е и отношение P_Е образуют эмпирическую систему с отношением предпочтения (предшествования) U_Е= А_Е, P_Е.

В процессе измерения каждому объекту а_i  А_Е ставится в соответствие численная оценка его некоторого свойства. Измерение эмпирической системы с отношением U_Е состоит в определении соответствующей числовой системы с отношением U_Z =  А_Z, P_Z . Числовую систему U_Z образуют множество чисел A_Z={f(а₁),…f(а_N)} и отношение P_Z, определенное на множестве А_Z x А_Z.

*

Соответствие между U_E и U_Z. устанавливается с помощью гомоморфного отображения f эмпирической системы с отношением U_E в числовую систему с отношением U_Z. Напомним, что отображение f гомоморфно, если для всякой пары (а_i, а_j)  P_Е выполнено условие [f(а_i),f(а_j)] P_Е . Если в эмпирической системе с отношением U_Е= А_Е, P_Е, P_Е - отношение предпочтения (_), то в числовой системе с отношением U_Z =  А_Z, P_Z, P_Z- отношение "меньше-равно" (). Тогда шкалой называется тройка  U_E,f, U_Z .

При измерении возникают следующие проблемы.

Во-первых, прежде, чем проводить измерение, следует убедиться, что существует некоторая шкала  U_E,f, U_Z . Иными словами, надо убедиться, что существует числовая система с отношением U_Z, в которую гомоморфно отображается U_E. Эта проблема известна как проблема измеримости эмпирических систем.

Вторая проблема - проблема единственности - состоит в определении множества числовых систем, в которые отображается данная эмпирическая система. Все такие числовые системы переводятся друг в друга одним типом преобразования.

В-третьих, после того, как найдена числовая система, соответствующая эмпирической, над численными значениями могут производиться различные операции: сложения, сравнения и т.д. Третья проблема - проблема адекватности - состоит в том, что для каждой числовой системы определены свои допустимые операции, не искажающие смысл данных. Корректность тех или иных числовых операций определяется типом шкалы, в которой проведены измерения.

22

1.9. Основные типы шкал

Тип шкалы определяется типом преобразований, с помощью которых одна числовая система, соответствующая данной эмпирической системе, переводится в другую числовую систему, также соответствующую данной эмпирической системе.

К числу преобразований, характеризующих основные типы шкал, относятся: тождественное, подобия, сдвига, линейное, монотонное и взаимнооднозначное. Чем меньше множество числовых систем, в которые гомоморфно отображается данная эмпирическая система, тем мощнее шкала, в которой она измеряется, по набору допустимых операций над ее числовыми значениями.

Наименее мощным типом шкалы является номинальная шкала. Очевидно, что эмпирическая система с отношением эквивалентности измерима в номинальной шкале. Измерение признака в номинальной шкале состоит в разбиении объектов на классы эквивалентности, где объектам одного класса соответствует одно число. В номинальной шкале значения числовой системы U_Z определены с точностью до взаимно- однозначного преобразования (x), где x- исходное числовое значение. Это означает, что k различным значениям x_ij{1,…k} компоненты i признака X_j можно поставить в соответствие k произвольных различных значений ( x_ij ){(1),(2),…(k)}.

Более мощной является порядковая шкала. Можно доказать, что эмпирическая система с отношением линейного порядка измерима в порядковой шкале. Числовые системы, в которые гомоморфно отображается эмпирическая система с отношением линейного порядка, должны сохранять порядок на множестве объектов, соответствующий их ранжированию. В порядковой шкале значения числовой системы определены с точностью до монотонных преобразований.

Следующая шкала уже относится к количественному типу - шкала интервалов. В такой шкале значения числовой системы измеряются с точностью до линейного преобразования вида (x)=x+ > 0. В шкале интервалов сохраняется отношение разности численных значений. Действительно, пусть объектам a₁, a₂, a₃, a₄ в некоторой числовой системе соответствуют значения f(a₁)= x₁₁, f(a₂)= x₂₁, f(a₃)= x₃₁, f(a₄)= x₄₁ ,то есть измерен признак X₁=(x₁₁, x₂₁, x₃₁, x₄₁)^Т . Пусть в другой числовой системе измерен признак (X₁) == (x₁₁x₂₁x₃₁x₄₁)^Т . Тогда получим

Примером измерения в шкале интервалов является значение температуры по шкалам Цель-

23

сия, Кельвина, Фаренгейта.

Следующая количественная шкала - шкала отношений. В такой шкале значения числовой системы измеряются с точностью до преобразования подобия вида x = x,  > 0. В такой шкале сохраняются отношения численных значений. Действительно, пусть объектам a₁ и a₂ соответствуют значения f(a₁) =x₁₁ и f(a₂) =x₂₁ в одной числовой системе и значения  f(a₁) и  f(a₂)в другой числовой системе, то есть значениям признака X₁= (x₁₁,x₂₁)^Т соответствуют значения признака Ф(X₁) = (x₁₁),x₂₁))^Т . Тогда получим

Измерениями в шкале отношений являются измерения веса, длины и прочих именованных величин, характеризующихся масштабом.

Наиболее мощной является абсолютная шкала. В ней определяются с точностью до тождественного преобразования x)= x. Результаты измерения в абсолютной шкале определяются однозначно, например, число стульев, количество рабочих. Любое преобразование, кроме тождественного, исказит эти измерения и приведет к неправильным данным.