45.Частотные характеристики фильтров. Дифференцирующие цифровые фильтры. Методика расчетов.

А)От z-образов сигналов и передаточных функций подстановкой z = exp(-jt) в уравнение (1.3.2) можно перейти к Фурье-образам функций, т.е. к частотным спектрам сигналов и частотной характеристике фильтров, а точнее – к функциям их спектральных плотностей.

Можно применить и способ получения частотных характеристик непосредственно из разностного уравнения системы обработки данных. Так как цифровая фильтрация относится к числу линейных операций, то, принимая для сигнала на входе фильтра выражение x(kt) = B() exp(jkt), мы вправе ожидать на выходе фильтра сигнал y(kt) = A() exp(jkt). Подставляя эти выражения в разностное уравнение фильтра (1.1.1), получаем: a_m A() exp(jkt-jmt) = b_n B() exp(jkt-jnt).

A() exp(jkt) a_m exp(-jmt) = B() exp(jkt) b_n exp(-jnt).

A() a_m exp(-jmt) = B() b_n exp(-jnt). ередаточная частотная функция (частотная характеристика при а_о=1): H() = A()/B() = b_n exp(-jnt) [1+ a_m exp(-jmt)]. (1.4.2)

При t = 1: H() = h(n) exp(-jn), h(n) = (1/2) H() exp(jn) d.

В общем случае H() является комплексной функцией, модуль которой R() называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент () - фазочастотной характеристикой (ФЧХ).

A() = |H()| =

() = arctg(-Im H()/Re H()).

1. Частотные характеристики являются непрерывными функциями частоты.

2. При дискретизации данных по интервалам t функция H() является периодической.

3. Для фильтров с вещественными коэффициентами импульсной реакции h(nt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ - нечетной.

Б)Дифференцирующие цифровые фильтры.Передаточная функция. Из выражения для производной d(exp(jt))/dt = j exp(jt) следует, что при расчете фильтра производной массива данных необходимо аппроксимировать рядом Фурье передаточную функцию вида H() = j. Поскольку коэффициенты такого фильтра будут обладать нечетной симметрией (h_-n = -h_n) и выполняется равенство h_n [exp(jn)-exp(-jn)] = 2j h_n sin n, то передаточная характеристика фильтра имеет вид: H() = 2j(h₁ sin + h₂ sin 2+ ... + h_N sin N), т.е. является мнимой нечетной, a сам фильтр является линейной комбинацией разностей симметрично расположенных относительно s_k значений функции. Уравнение фильтрации:y_n = h_n(s_k+n - s_k-n).

Если дифференцированию подлежит низкочастотный сигнал, а высокие частоты в массиве данных представлены помехами, то для аппроксимации в пределах главного частотного диапазона задается (без индекса мнимости) передаточная функция фильтра вида:H() = _в, H() = 0, _в< _N.

Оператор дифференцирующего фильтра: h(n) = (2/) H() sin(n/_N) dn = 0,1,2,...

Принимая, как обычно, _N =  (t = 1) и решая (7.5.1) при H() = , получаем: h_n = (2/)[sin(n_в)/n² - _в cos(n_в)/n], Частотная характеристика: Im(H()) = h_n sin n = 2 h_n sin n .В) Оптимизационные методы позволяют проектировать экономные по размерам операторы фильтров с оптимальными (по Чебышеву) осцилляциями частотных характеристик. Они основаны на понятии полос равных колебаний.

46.Идеальные фильтры. Конечные приближения идеальных фильтров.

Идеальным полосовым фильтром называется фильтр, имеющий единичную амплитудно-частотную характеристику в полосе от определенной нижней частоты wн до определенной верхней частоты wв, и нулевой коэффициент передачи за пределами этой полосы (для цифровых фильтров - в главном частотном диапазоне).

Импульсная реакция фильтра (коэффициенты оператора) находится преобразованием Фурье заданной передаточной функции H(w). В общем случае: h(nDt) = (1/2p) H(w) exp(jwnDt) dw.

Для получения вещественной функции импульсного отклика фильтра действительная часть передаточной функции должна быть четной, а мнимая - нечетной.

Для идеального полосового фильтра H(w)=1 в полосе частот от wн до wв, и интеграл (4.2.1) вычисляется в этих пределах. Идеальные фильтры низких и высоких частот можно считать частными случаями идеальных полосовых фильтров с полосой пропускания от 0 до wв для низкочастотного и от wн до wN для высокочастотного фильтра.

При H(w)=A=1 в полосе пропускания wн -wв, и H(w)=0 за ее пределами, для идеальных симметричных полосовых НЦФ из (4.2.1) в общем виде получаем:

h(n) = (А/p) [wв sinc(nwв) - wн sinc(nwн)], (4.2.2)

ho = (wв - wн)/p, h(n) = (sin nwв - sin nwн)/(np).

где sinc(nw) = sin(nw)/(nw) - функция интегрального синуса (функция отсчетов), бесконечная по координате w.

Конечные приближения идеальных фильтров Оператор идеального частотного НЦФ, как это следует из выражения (4.2.2 h(n) = (А/p) [wв sinc(nwв) - wн sinc(nwн)],), представляет собой бесконечную затухающую числовую последовательность, реализующую заданную передаточную функцию:

H(w) = h(n) cos nw. (4.3.1)

На практике бесконечный ряд (4.3.1) всегда приходится ограничивать определенным числом членов его конечного приближения

H'(w) = h(n) cos nw,где sinc(nw) = sin(nw)/(nw) - функция интегрального синуса (функция отсчетов), бесконечная по координате w.