4. Pod канала потока с изменением плотности

Моделируемая область потока является полностью развитым турбулентным течением между двумя параллельными стенами. Стены, как предполагается, сохранены при различных но постоянных температурах без колебаний. Более низкая стена горяча, и верхний является холодным. Поток ведут градиент постоянного давления в направленном по течению направлении и силы плавучести в нормальном стеной направлении. Область потока является периодической в направленном по течению направлении, и статистические данные зависят от поперечного потока и нормальных стеной указаний. Управляющие уравнения - сжимаемое, Navier-топит уравнения, уравнение непрерывности, энергетическое уравнение, и уравнение состояния для идеального газа. Эти уравнения были безразмерное использование характерных весов каждой переменной. Жидкость, как предполагается, является воздухом, и его вязкость, µ, меняется в зависимости от температуры согласно уравнению Сазерленда, Теплопроводность, k, получена из вязкости, используя уравнение Oйкена. Использовался новый метод, связывающий давление и плотность. Второй порядок центрального метода различия использовался для пространственной производной. Фракционный метод применен для развития времени, которое основано на втором заказе метод Адамса-Бэшфорта для конвекции и сроков распространения и неявный обратный метод Euler для уравнения непрерывности и термина давления. Вычислительная область была выбрана, чтобы быть 15.84 x 1 x 7.68 и разделенный на 256 x 128 x 256 узлов решетки в направленном по течению, нормальном стеной, и поперечные направления потока, соответственно. Периодические граничные условия были применены в направленном по течению направлении, и нескользкое граничное условие использовалось на стенах. Параметры моделирования следующим образом; число Рейнолдса Re_T = 150, число Prandtl Pr = 0.71, температура горячей стены θ_h = 450, и температура холодной стены θ_C= 350. Результаты были по сравнению с таковыми из приближения Буссинеска, Охта и соавт. [8], и Охта и соавт. [9].

На рисунке 1 показан контур участка U, V, W, Θ, и ρ. Улучшить время составляло в среднем ценности, все статистические данные были усреднены по направленному по течению руководству (однородное руководство). Доминирующие когерентные структуры среднего потока вращающиеся вихри размером ширины канала. Эти вихри вращения

Рис. 1. Контур участок потока -стрелки средняя скоростьU, нормальной к стенке средняя скорость V, кросс-потоксредней скорости W, средняя температура Θ и средняя плотность ρ.Стрелки на участке U контура показываютнаправление вращения Рэлея-Бенара противоположно вращающихся вихрей. Цветные полоски справапоказывает величину контура

ведет к конвекции Рэлея-Benard между этими двумя стенами, и у них нет колеблющейся части. Рисунок 2 показывает поток средней скорости в трех различных положениях поперечного потока. Стены нормальной составляющей скорости означает, V, convects поток в направлениях, показанных стрелками на рисунке 1. Поперечный поток средней скоростни компонента, W, advects поток в поперечном направлении потока из областей положительных значении W в области отрицательных величин. Адвекция поперечным потоком средней скорости компонента значительно влияет профиль средней температуры и плотности. Средняя температура, θ, уменьшается монотонно в положениях 1 и 3. Но, у этого есть немонотонный профиль в положении 2 из-за горизонтальной адвекции W как показано в рисунке 3. Положения 1,2, и 3 отмечены линиями в рисунке 1 по U и θ контурам.

Мы хотим построить представление этого потока с использованием эмпирических собственных функций. Мы случайные поля скорости, температуры и плотности;  соответственно. Мы стремимся найти детерминированное векторное поле , которое имеет максимальную проекцию на наше случайное поле в среднеквадратическом смысле. Мы хотели бы найти целые новые детерминированное области представлена ​​ , для которых  максимальна. В связи с мерным рассмотрением, векторные и скалярные поля не могут быть включены в одну задачу максимизации. Кроме того, векторные поля и скалярные поля можно увеличить отдельно следующим образом:

В приведенном выше подход, взаимная корреляция между векторными полями и скалярными полями не учитывается. Поэтому лучший подход было бы определить пятый-вектор задачи максимизации использования трех компонентов скорости, температуры и плотности флуктуации. Для того, чтобы сделать это рациональным путем, нам необходимо нормализовать различные компоненты таким образом, что они все имеют одинаковую размерность. В этой связи возникает вопрос о масштабирование, каковы наилучшие параметры для масштабирования пяти компонентов,  ? Есть два способа сделать это: либо масштабирование различных компонентов исходных данных или масштабирования кросс-корреляции тензора. [6] и [7] масштабируется по двум точкам тензора перекрестной корреляции с среднеквадратичного потока пульсации скорости (u_rms) и корень среднего квадрата флуктуации плотности (ς_RMS). Тем не менее, в этом исследовании поле потока масштабируется с среднеквадратичным значением каждого компонента, то есть  и . Таким образом, поток поля становится безразмерным. Поэтому использование пятого вектора задачи максимизации прямой,

И ψ_i (·) есть решение следующей Фредгольма уравнении

Однородный поток в потоке-стрелке направления, х, и неоднородных ограничена в стену-нормальном направлении. Колебания скорости, температуры и плотности можно рассматривать как однородный сигнал в поперечном направлении потока, то есть две точки корреляции являются независимыми по происхождению в пространстве в этом направлении, в полости для таких малых числах Рейнольдса. Преобразование Фурье уравнения (12) по х и z направлении, пространственной корреляции тензора  становится крестом cпектров тензора   и уравнения (12) может быть переписана следующим образом:

Уравнение (13) может быть сформулирована как задача на собственные значения, снова трапеций до N = 65 неравномерно расположенных точках сетки от одной стены к линии центрального канала была использована для аппроксимации интеграла:

Для 3-х измерениях (х, у, z), 3 скорости компонентов (u^s, v^s,

и w^s), плотности (ς^S) и температуры (θ^s) выше уравнений можно записать в матричной форме следующим образом:

POD области интегрирования была выбрана аналогичным тому что канал в минимальной единицей потока со следующим распределением сетки; (256 × 65 × 32). Решая эти уравнения численно для каждой пары волновых чисел (k₁ =  , k₃= ) дает POD основе ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄ и ψ₅ и собственные спектры Λ.

Рис. 2. Средняя скорость профиль поперечного потокапозиции 1, 2 и 3 Рис. 3. Средняя температура профиля на поперечныйпоток позиции 1, 2 и 3

1. Кинетическая энергия:

Полная кинетическая энергия ξ_t сумма по всем PODрежимов, Поток стрелки режимов и кросс-поток режимах.

из которых, процент энергии в зависимости от стены нормального режима индекса n и кросс-потокового режима индекса l определяется по формуле:

На рисунке 4 показано распределение кинетической энергии среди первых 13 POD режима. В соответствии с предыдущими исследованиями, POD режим 1, 2 и 3 содержат около 60%, 20% и 10% соответственно, от общей кинетической энергии. На рисунке 5 показано распределение кинетической энергии среди первых 32 поперечного потока режима. Кросс-потоковом режиме второй из наиболее энергичных режимов и пики собственных спектров от происхождения места происхождения указывающие повторения когерентных структур в этом направлении.

Рис. 4. Кинетическая распределения энергии среди POD режимах. Рис. 5. Кинетическая распределения энергии среди поперечный поток режима. Рис. 6. Сходимость POD режимов, вклад из 5собственных мод к u.

2. Реконструкция мгновенного поля скорости

Чтобы понять, как POD представляет оригинальную скорость, температуры и плотности сигнала, мгновенное поле были реконструированы. Двойное преобразованию Фурье случайные скорости, температуры и плотности,  , и можно восстановить по собственных функций следующим образом:

И, следовательно, напряжения Рейнольдса, тепловых потоков, и плотность потока задаются

На рисунках 6 и 7 показывают, как реконструированный мгновенного поток-стрелки скорость сигнала по сравнению с исходными данными во времени и пространстве. В обоих случаях, пять собственных мод представляет исходный сигнал благоприятный. На рисунках 8, 9, 10, 11 и 12 оказаны реконструкции u_rms, V_rms, W_RMS, θ_rms и ρ_rms используя 1, 2, 3, 4 и 5 POD мод. POD представление поле потока сходится быстро с соответствующими данными DNS.

Рис. 7. Сходимость POD режимов, размере 1, 5 собственных мод к u. Рис. 8. Сходимость POD режимов, размере 1, 2, 3, 4, 5 собственных мод u_rms. Рис. 9. Сходимость POD режимов, размере 1, 2, 3, 4, 5 собственных мод 𝑣_rms. Рис. 10. Сходимость POD режимов, размере 1, 2, 3, 4, 5собственных мод W_RMS. Рис. 11. Сходимость POD режимов, размере 1, 2, 3, 4, 5собственных мод θ_rms. Рис. 12. Сходимость POD режимов, размере 1, 2, 3, 4, 5собственных мод ρ_rms.