37. Понятие зависимых и независимых величин.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина. Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей. Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям. Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих. Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного  распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

38. Определите законы распределения и числовые характеристик случайных процессов.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Центральным моментом порядка k, s системы называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин:

Кроме первых начальных моментов, на практике широко применяются еще вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой уже известные нам дисперсии величин X и У:

характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ох и Оу.

Характеристика Кху, называется корреляционным моментом (иначе — «моментом связи») случайных величин X, Y.

Коэффициентом корреляции равен rxy = ±1, причем знак «плюс» или «минус» берется в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент а.

В общем случае, когда величины X и Y связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах: -1 < rxy< 1

39. Что такое корреляционная функция случайного процесса?

Кореляційна функція - функція часу або просторових координат, яка задає кореляцію у системах із випадковими процесами.

Залежна від часу кореляція двох випадкових функцій X(t) та Y(t) визначається, як

,

де кутові дужки позначають процедуру усереднення.

Якщо кореляційна функція обчислюється для одного й того ж процесу, вона називається автокореляційною:

.

Аналогічно, можна обчислити кореляційну функцію для процесів, що відбуваються в різних точках простору у різні моменти часу:

.

Кореляційні функції широко використовуються у статистичній фізиці та інших дисциплінах, які вивчають випадкові (стохастичні) процеси.

40. Какие особенности случайного процесса характеризуют знак коэффициента корреляции и его модуль?

Кореляційний момент є характеристика системи випадкових величин, що описує, крім розсіювання двох випадкових величин X й Y, ще й зв'язок між ними.

а для безперервних - формулою

Для характеристики зв'язку між величинами (X, Y) у чистому вигляді переходять від моменту К_ху до безрозмірної характеристики

(5.1)

де σ_х , σ_у — середні квадратичні відхилення величин X, У.

Ця характеристика називається коефіцієнтом кореляції величини Х и Y. Коефіцієнт кореляції обертається в нуль одночасно з кореляційним моментом; отже, для незалежних випадкових величин коефіцієнт кореляції дорівнює нулю.

У випадку r_xy > 0 говорять про позитивну кореляцію величин X й Y, у випадку r_xy< 0 — про негативну кореляцію.

-1 < r_xy < 1

Позитивна кореляція між випадковими величинами означає, що при зростанні однієї з них інша має тенденцію в середньому зростати; негативна кореляція означає, що при зростанні однієї з випадкових величин інша має тенденцію в середньому убувати.