58 БУЛЕВА АЛГЕБРА И ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕМ

Булева алгебра – непустое мн-во, для кот-го определены три операции: две бинарные операции, представленные знаками , и одна унарная операция, представленная чертой, ставящейся перед эл-том мн-ва(дополнение).

Эл-ты непустого мн-ва(обозн. чер. U) принято обозначать буквами , ,… В результате бинарных операций из произвольных эл-тов  и  из U получаются более сложные эл-ты:  и , кот. соотв-но наз. объединением и пересечением  и . По опр-ю для каждого эл-та  из мн. U однозначно представлен эл-т -, кот. наз. дополнением к . Для непустого множества U характерно следующее:

1. вместе с эл-ми  и  в нем содержатся их теоретико-множественное пересечение () и их теоретико-множественное объединение ();

2. если эл-т  сод-ся в мн-ве U, то в U содержится и теоретико-множественное дополнение к , т. е. мн-во всех подэл-тов из U, кот. не принадлежат . При этом каждый эл-т имеет только одно доп-е.

Система аксиом, предложенная Сикорским :

1. законы коммутативности :    =   ,    =   

2. законы ассоциативности: (С) = ()С , (С) = ()С

3. законы поглощения: () = , () = 

4. законы дистрибутивности: (С) = ()(С), (С) = ()(С)

5. (-) = , (-) = . Из этих аксиом следует, что -  и  -, где  - знак включения.

Элемент - наз. нулевым элементом, или нулем бул. алгебры и обознач. .

Элемент - наз. единичным элементом, или единицей бул. алгебры и обозн. .

При этом считается, что когда бул. алгебра явл. полем подмножеств простр.-ва Х, нулевым элементом U явл. пустое множество, а единичным элементом – все пространство Х.

В бул алгебре действительны законы идемпотентности, согласно кот.

 = ,  = .

Бул. алгебра наз. вырожденной алгеброй, если в ней имеется только один эл-т. Необходимым и достаточным усл-ем вырожденности бул. алгебры счит-ся рав.-во =, т.е. совпадение нуля и единицы.

Принятая в бул. алгебре система аксиом основана на принципе двойственности. Запас выводимых в ней формул остается без изменений, если всюду соот-но заменить  на , а  на .

В булевой логике действительны законы де Моргана, согласно кот.

-(  ) = -  -, -(  ) = -  - . Из этих законов следует, что    тогда и т. т., когда -  -, а также то, что  = - (- -),  = - (- -).

Когда для непустого подмн.-ва счит.-ся выполненными след. два условия:

1. из того, что , , следует, что  ,

2. из того, что  и   , следует, что ,то такое непустое мн.-во наз. идеалом и обознач. гр. бук. ( дельта).

В том случае, когда для непустого подмн.-ва оказ.-ся выполненными след. условия:

1. из ,  , следует, что   ,

2. из   и   , следует, что , то такое непуст. подмн.-во наз фильтром и обозн. переверн. гр. бук. . Понятие фильтра двойственно к понятию идеала.

Если непустое подмн.-во U₀ бул. алгебры U замкнуто относительно операций , ,-, т.е. удовлетворяет след. усл.:

1. если ,   U₀ , то    U₀

2. если ,   U₀, то    U₀

3. если   U₀, то -   U₀, то оно U₀ наз. подалгеброй алгебры U.

Отображение (обозн. его ) алгебры U в алгебру U наз. гомоморфизмом, если оно сохраняет операции объединения, пересеч.-я, взятия дополнения, т.е.

( )=  ()  (),( )=  ()  (),(- )= - ().

Взаимно однозначный гомоморфизм наз. изоморфизмом.

Б ул. алгебра U наз. атомной, если для каждого эл.-та  (U) существует атом а . Безатомной бул. алгебра наз. тогда, когда она не содержит ни одного атома. Атомом бул. алгебры наз. эл.-т а, если для любого U включение а  означает, что или =, или = а. Понятие атома явл. бул. аналогией одноточечного мн.-ва. Изоморфизм  бул. алгебры U на себя наз. автоморфизмом.

Самым важным применением теории бул. алгебр считается ее применение к мат. логике. Булев метод позволяет проще и легче доказывать многие фундаментальные теоремы исчисления предикатов, как , напр., теорему о существовании моделей. Булевы алгебры находят широкое применение также в неклассической логике, в теории меры, в функц. анализе, к основаниям теории вероятностей.

Определения:

Бинарная операция – такая операция мат. логики, когда связ.-ся два высказыв.-я в новое, более сложное высказывания.(конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквив.-ть)

Унарная операция – так. операция, в кот. участвует одна пропорциональная связка и одно высказывание. Такими операциями явл.: операция отрицания  или , операция необходимости , операция возможности .

Пустое множество – мн.-во, не имеющее эл.-тов (обознач.  ) - явл. подмн.-вом любого мн.-ва. В операциях с пустыми мн.-вами действуют след. правила:

  М = М   М =   \ М= М \  = М.

Непустое мн.-во – такое мн.-во, кот имеет хотя бы один элемент.(обозн. М ).

76 Классическое опр-е вер-ти. Геометрическая вер-ть. Ф-ла полной вер-ти. Ф-ла Байеса.

Некоторые определения.

Эксперимент (опыт) – комплекс условий которые могут воспроизводится неограниченное число раз.

Пространством элементарных исходов (омега) наз-ся множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают (омега) с индексами или без.

Событиями называют подмножества множества , причем не обязательно все подмножества множества , а лишь множества из некоторого набора подмножеств. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество А.

Вероятностью события наз. численная мера степени объективной возможности события P(A). Вероятность  события лежит в пределах .

Достоверным наз. событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, то есть единственное событие, включающее все без исключения элементарные исходы – событие .

Невозможным наз. событие, которое не может произойти в результате эксперимента, то есть событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .

Событие наз. Простым (элементарным), если оно состоит только лишь из одного элементарного исхода, и составным – если k   исходов.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате стохастического (не можем предугадать результат) эксперимента произойдет хотя бы одно из них, т.е. их сумма есть достоверное событие.

Два события наз. несовместными, если в результате опыта появление одного из событии исключает появление другого, т.е. эти события не могут произойти одновременно.

Несколько событий наз. равновозможными, если .

Условной вероятностью P(A\B) события А при наличии события В наз. вероятность события А, вычисленного при условии, что событие В произошло: .

Классическое определение вероятности Колмагорова

Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа n элементов: Более того, предположим, что из каких- либо соображений мы можем считать элементарные исходы равновозможными. Тогда вероятность любого из них принимается равной 1/n.

Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, правильная кость). Либо мы можем заранее считать исходы экс-та равновозможными, но тогда рано или поздно возникнет вопрос о соответствии такой мат. модели реальному эксперименту.

Если событие состоит из m элементарных исходов, то вероятность этого события равняется

Определение. Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа равновозможных исходов.

В этом случае вероятность любого события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов.

Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности пригодно только для экспериментов с ограниченным числом равномерных элементарных событий.

Рассмотрим какую-нибудь непрерывную квадрируемую область в , (на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» (длина, площадь, объём, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку . Термин «наудачу» здесь означает, что вероятность попадания в любую часть не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от «меры» области.

Определение. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области в так, что вероятность попадания точки в не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от «меры» области A ( и следовательно, пропорциональна этой мере):

, где обозначает меру обл. A.

«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объём.

Если для точки, брошенной в область , выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области .

Замечание. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств вероятность может быть вычислена как отношение меры А к мере . Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, то есть множеств, мера которых не существует. А если для всех подмножеств мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить только при условии появления одного из несовместных событий H_i (гипотез), которые образуют полную группу. Тогда вероятность любого события А может быть вычислена по формуле:

.

События H₁, H₂,…, образующие полную группу событий, часто наз. гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P(A\H_i) (вероятность событию А произойти при выполнении H_i).

Формула Байеса.

Пусть H₁, H₂,…- полная группа событий и А- некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие H_k, если в результате эксперимента наблюдалось событие А, может быть вычислена по формуле:

.

Формулы Байеса позволяют переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.