8.4 Идентификация параметров объекта с помощью квадрата модуля частотной характеристики и метода наименьших квадратов

При идентификации параметров интегрирующих устройств статистическим методами целесообразно линеаризовать экспериментальные данные с применением метода наименьших квадратов.

Из известных частотных характеристик (АФХ, ЛЧХ, АЧХ, ФЧХ) наибольшая точность идентификации достигается при применении квадрата модуля частотной характеристики.

Пусть необходимо идентифицировать коэффициент передачи и постоянную времениТ_ив передаточной функции ПИ- регулятора:

(8.27)

Квадрат модуля частотной характеристики ПИ – регулятора:

(8.28)

При замене переменных и выражение (8.28) линеаризуется следующим образом:

(8.29)

где , .

Идентификация производится в следующем порядке:

1. В ходе эксперимента измеряются амплитуда входного и выходного сигналов.

2. По результатам измерений определяются квадраты модулей частотных характеристик, которые наносятся на график в координатах X-Y.

3. Для линеаризации экспериментальных точек применяем метод наименьших квадратов, который позволяет определить коэффициентыaи bв уравнении (7) по минимуму квадратичной ошибки ε²:

(8.30)

где n – количество точек измерений.

Для минимизации ошибки продифференцируем уравнение (8.30) поaи bи приравняем их производные к нулю. В результате получим:

(8.31)

Производя суммирование и перестановку, получим систему линейных уравнений относительно коэффициентов aи b

(8.32)

Для упрощения расчетов введем обозначения:

– среднее значение аргумента;

– среднее значение квадрата аргумента;

– среднее значение функции;

– среднее значение произведений функций и аргументов.

Тогда система уравнений (8.32) преобразуется в следующую систему:

(8.33)

Значение коэффициентов определяются решениями:

. (8.34)

. (8.35)

После вычисления коэффициентов искомые параметры и определяется в соответствии с (8.31):

; . (8.36)

8.5Идентификация параметров объекта с применением квадрата модуля обратной частотной характеристики

Рассмотрим процедуру идентификации параметров электродвигателя, описываемой передаточной функцией второго порядка:

. (8.37)

Структура передаточной функции не позволяет произвести замену переменных для линеаризации частотной характеристики. Поэтому применим обратную частотную характеристику:

_(8.38)

где – статический коэффициент преобразования, который можно определить в установившемся режиме измерением напряжения и скорости.

Для повышения точности идентификации перейдем к квадрату модуля обратной частотной характеристики:

_(8.39)

Произведем замену переменных:

_{, , ,}

.

Тогда .

Для линеаризации представим это выражение в иной форме и введем новую переменную:

. (8.40)

Тогда линейная зависимость принимает вид:

. (8.41)

Коэффициенты этой зависимости можно определить методом наименьших квадратов или графоаналитическим методом.

При применении графоаналитического метода необходимо экспериментальные значения опытов нанести в виде точек в координатах , а затем провести через область точек прямую, которая была бы максимально приближена к точкам (рис. 8.13).

Рисунок 4.3. – Графоаналитическое определение коэффициентов линейной зависимости