- •13.Ряды
- •13.1. Числовые ряды Основные понятия числового ряда
- •Геометрическая прогрессия
- •Свойства сходящихся рядов
- •Знакоположительные ряды Достаточные признаки сходимости
- •Знакочередующиеся ряды
- •Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Остаток ряда и его оценка.
- •Исследования знакочередующегося ряда на абсолютную (условную) сходимость.
Знакочередующиеся ряды
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида
, (13.1.14)
где при п =1, 2, 3,¼, т. е. ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости.
Теорема 13.9. (Признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям:
1) un>un+1,
2) , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Остаток ряда и его оценка.
Определение. Ряд с произвольным распределением знаков его членов называется знакопеременным (т. е. ряд с произвольным расположением положительных и отрицательных членов).
Пусть дан знакопеременный ряд
(13.1.15)
Одновременно рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда
. (13.1.16)
Для знакопеременных рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.
Теорема 13.10. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд (13.1.16) сходится, то сходится и ряд (13.1.15).
Рассмотренный признак является достаточным, но не является необходимым, т. к. существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, состоящие из абсолютных величин их членов расходятся.
Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а гармонический ряд расходится. Поэтому все сходящиеся знакопеременные ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.
Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится (например, по признаку Лейбница), а ряд, состоящий из абсолютных величин его членов, расходится.
Замечание. Знакочередующийся ряд является частным случаем
знакопеременного ряда.
После того как мы убедились в сходимости ряда, возникает вопрос о вычислении его суммы. Эта задача более сложная, т. к. сумму ряда во многих случаях вычислить невозможно. Поэтому чаще всего вычисляют приближенное значение суммы ряда с желаемой степенью точности.
Определение. Пусть дан ряд (13.1.15). Величина Rn=un+1+un+2+¼ называется остаточным членом ряда
Теорема 13.11. Если ряд (13.1.15) сходится, то его остаточный член стремится к нулю, когда п →∞.
Доказательство. Действительно, пусть ряд (13.1.15) сходится и Sn-его частичная сумма.
Сумма самого ряда равна
S=u1+u2+u3+¼+un+¼=Sn+un+1+un+2+¼=Sn+Rn
или или Rn=S-Sn.
Учитывая, что , то . Теорема доказана.
В данной теореме утверждается следующее: если вместо точного значения S суммы ряда взять сумму Sn его первых п членов, то ошибка будет равна Rn, а т. к. Rn®0 при п®∞, следует, что всегда можно взять п настолько большим, чтобы Rn было сколь угодно малым.
Другими словами, сумму сходящегося ряда всегда можно вычислить с любой точностью, а величина Rn укажет ошибку при замене суммы ряда суммой его первых п членов. Для приближенных вычислений при помощи рядов оценка этой ошибки весьма существенна. Особенно просто удается оценить погрешность в случае знакочередующегося ряда.
Теорема 13.12. Для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, остаток его Rn по абсолютной величине меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов |Rn|<un+1, причем знак остатка совпадает со знаком своего первого члена un+1.
Схема