12.4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно соединенные активное сопротивление, емкость и индуктивность

Схема рассматриваемой цепи приведена на рис.12.12. Поскольку все элементы цепи соединены последовательно, через них течет одинаковый ток, мгновенное значение которого выражается формулой

. (12.15)

В соответствии с законом Ома найдем амплитуду напряжения на каждом элементе цепи:

,

,

.

Как выяснено ранее, на активном сопротивлении напряжение совпадает по фазе с силой тока, на катушке индуктивности напряжение опережает силу тока по фазе на /2, а на конденсаторе, наоборот, напряжение отстает от силы тока по фазе на /2.

Построим векторную диаграмму цепи, рис.12.13. Для этого вначале отложим вектор амплитуды силы тока вдоль оси ОY. Затем изобразим вектора и с учетом сдвига фаз соответствующих напряжений относительно тока.

Н а рис.12.14 выполнено геометрическое сложение векторов амплитуд напряжений на активном сопротивлении, катушке индуктивности и конденсаторе. Получено, что вектор суммы всех этих напряжений , повернут на угол  относительно вектора амплитуды силы тока. Это означает, что в данном случае колебания напряжения опережают по фазе колебания силы тока (12.15) на угол :

(12.16)

Из рис.12.14 видно, что угол  можно определить из условий

(12.17).

где величина X = X_L-X_C называется реактивным сопротивлением цепи.

Из рис.12.14 также можно видеть, что

,

или (12.18)

Последнее выражение называется законом Ома для цепи переменного тока. Величина, стоящая в знаменателе, называется полным сопротивлением цепи переменного тока. С ее использованием закон Ома запишется в виде

(12.19)

12.5. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Пусть на каком-либо участке цепи течет переменный ток, мгновенное значение которого определяется выражением

.

Пусть к этому участку цепи приложено напряжение

Тогда, согласно закона Джоуля-Ленца, в любой момент времени t на этом участке цепи выделяется мощность

(12.20)

Воспользуемся тригонометрическим соотношением

Тогда выражение (12.20) преобразуется к виду

(12.21)

Первое слагаемое в полученном выражении для мгновенной мощности не зависит от времени, рис.12.15. Его физический смысл состоит в том, что оно выражает постоянную составляющую потребляемой участком цепи мощности. Эту составляющую можно интерпретировать как среднюю по времени мощность Р, выделяющуюся на активном сопротивлении R участка цепи

(12.22)

Именно эта составляющая есть мощность, выделяющаяся на резисторе в виде теплоты, она определяет механическую мощность электродвигателя и т.п. Из рис.12.14 видно, что cos, называемый коэффициентом мощности, можно выразить в виде

. (12.23)

В торое слагаемое в формуле (12.21) выражает реактивную составляющую мощности p_p. Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах (В А). Как видно из формулы, эта составляющая осциллирует (колеблется) с удвоенной частотой по отношению к частоте силы тока и напряжения, рис.12.16. На тех промежутках времени, где реактивная мощность положительна, электрическая энергия накапливается на реактивных элементах цепи в виде энергии магнитного (в соленоиде) или электрического (в конденсаторе) полей. На тех промежутках времени, где мощность отрицательна, эта накопленная энергия отдается обратно в цепь.

Полная мощность равна алгебраической сумме активной и реактивной мощностей, рис.12.17.

Согласно закона Ома для цепи переменного тока

U_m = I_mZ.

Сделав соответствующую замену в формуле (12.22), получим

Перепишем это равенство виде

, (12.24)

или . (12.25)

Ранее аналогичная формула использовалась для нахождения мощности, потребляемой в цепи постоянного тока. В ней буквой I обозначалась сила постоянного тока.

Эта же формула может выражать и активную мощность, потребляемой в цепи переменного тока. При этом ней буквой I обозначается т.н. действующее (или эффективное) значение силы тока. Из (12.24) видно, что

. (12.26)

Таким образом, действующим значением переменного тока называется такое значение постоянного тока, при протекании которого в цепи выделяется такая же мощность, как и протекании переменного тока.

Аналогичный смысл имеют действующие значения напряжения и ЭДС

,

Через действующие значения тока и напряжения активная мощность в цепи переменного тока выразится в виде

. (12.26)

Отметим, что повышение коэффициента мощности в энергетической сети предприятий составляет важную экономическую задачу. В реактивных элементах цепи, как выяснено выше, не происходит необратимого преобразования электрической энергии в другие виды. Но ее обратимое преобразование в энергию электрического и магнитного поля и обратно приводит к увеличению силы тока и, следовательно, к увеличению тепловых потерь в подводящих проводах.

1 С помощью векторных диаграмм можно изображать любые гармонически изменяющиеся величины.