- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
1. Основні поняття
У багатьох практичних задачах доводиться користатися величинами, що залежать не від однієї незалежної змінної, а від декількох змінних.
Означення 4.1. – вимірним координатним простором називається множина усіляких впорядкованих сукупностей , де . Кожну таку сукупність будемо називати точкою – вимірного координатного простору, тобто , де – координати точки .
Означення 4.2. Координатний простір називається – вимірним евклідовим простором , якщо між двома будь-якими точками та визначена відстань:
.
Означення 4.3. Нехай кожному числу ставиться в відповідність точка , тоді ряд точок , , ..., , ..., називається послідовністю точок . Послідовність точок позначають .
Означення 4.4. Якщо кожній точці з множини точок ставиться в відповідність за певним законом деяке число , то кажуть, що на множині задано функцію або . При цьому множину називають областю задання функції.
Той факт, що змінна є функцією змінних записують у вигляді
(4.1)
для явного завдання функції, і
(4.2)
для неявного завдання функції.
Приклад 4.1. Знайти область визначення функцій:
а) ; б) .
Розв’язання. Для випадку а) функція визначена для всіх значень , , при яких дріб існує. Очевидно, що це ті і , при яких . Отже, область визначення даної функції зображується точками площини , що не належать прямій (рис.4.1).
Для випадку б) функція визначена при або . Графічно область визначення даної функції зображується точками круга (рис.4.2).
-
Рис. 4.1.
Рис. 4.2.
Означення 4.5. Лінією рівня функції називається множина усіх точок, в яких функція набуває стале значення.
Рівняння лінії рівня має вигляд
, . (4.3)
Надаючи в цьому рівнянні різні значення сталої , будемо одержувати різні лінії рівня.
Для функції лініями рівня є концентричні кола , (рис.4.3). При коло вироджується в точку.
Для функції лініями рівня будуть прямі , (рис.4.4).
-
Рис. 4.3.
Рис. 4.4.
Лінії рівня використовуються при складанні географічних карт (лінії рівня – лінії, в яких висота точок земної поверхні над рівнем моря однакова), при складанні метеорологічних карт (лінії рівня – ізобари, ізотерми, ізохори) і т.д.
2. Границя і неперервність
Для визначення границі функції введемо поняття околу точки .
Означення 4.6. –околом точки будемо називати множину точок, віддалених від точки на відстань, що менше числа , тобто .
Означення 4.7. Число називається границею функції при , якщо для кожного, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа знайдеться такий -окіл точки , що для будь-якої точки з цього околу виконується нерівність .
Позначають або .
Усі теореми про границі, доведені для функції однієї змінної поширюються і на функції багатьох змінних.
Наприклад, , .
Зауважимо, що слід розрізняти –кратні границі і повторні границі, тобто
і .
Означення 4.8. Функція називається неперервною в точці , якщо виконується рівність , тобто значення неперервної функції в точці і її границя при збігаються.
На випадок функції багатьох змінних переносять властивості неперервних функцій однієї змінної: сума, різниця, добуток неперервних у точці функцій неперервні; частка двох неперервних у точці функцій неперервна, якщо .
Аналогічно узагальнюється властивість неперервності складної функції.
Функція , неперервна в кожній точці деякої області , називається неперервною в цій області.
При вивченні функції однієї змінної розглядалися основні властивості функцій, неперервних на відрізку. Ці властивості можна узагальнити на випадок функції багатьох змінних.
До основних властивостей функції, неперервної в замкнутій обмеженій області , віднесемо такі властивості.
1. Функція обмежена в області .
2. Функція досягає свого найменшого і найбільшого значень.
3. Функція набуває хоча б в одній точці області будь-яке значення, що лежить між і .