В.О. Толок

В.В. Киричевський

О.О. Тітова

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

для економістів

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів

УДК 51 (076)

Толок В.О., Киричевський В.В., Тітова О.О. Математичний аналіз для економістів. Навчальний посібник. – К.: Наук. думка, 2007. – 415 с.

Розглянуто питання теорії множин, послідовностей, диференціального та інтегрального числення функцій однієї та багатьох змінних, теорії рядів, диференціальних рівнянь. Багато уваги приділено вправам економічного змісту.

Для педагогів і студентів університетів спеціальності „Економічна кібернетика”.

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник (лист № від 2006)

Рецензенти: В.І. Пожуєв, доктор фіз.-мат. наук, професор;

Ю.М. Внуков, доктор технічних наук, професор;

Л.Н. Сергєєва, доктор економічних наук, професор.

Т

ISBN 966-00-36-7

© В.О. Толок., В.В.Киричевський, О.О. Тітова, 2006

ЗМІСТ

Передмова......................................................................................	7
Розділ 1.Теорія множин...............................................................	9
§ 1. Поняття множини...................................................................	9
§ 2.Найпростіші операції над множинами..................................	10
§ 3. Числові множини....................................................................	12
§ 4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин..........	14
§ 5. Поняття функції (відображення)...........................................	15
§ 6. Еквівалентні множини. Потужність множин.......................	15
§ 7. Потужність континуума.........................................................	17
Вправи.............................................................................................	18
Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної......................	20
§ 1. Числові послідовності............................................................	20
§ 2. Границя послідовності...........................................................	22
§ 3. Застосування послідовностей в економіці...........................	26
§ 4. Поняття функції......................................................................	28
§ 5. Способи задання функції.......................................................	29
§ 6. Деякі властивості функцій.....................................................	32
§ 7. Функція, обернена до даної...................................................	34
§ 8. Класифікація функцій............................................................	35
§ 9. Основні методи побудови графіків функцій........................	44
§ 10. Приклади застосування функцій в економіці....................	47
§ 11. Границя функції....................................................................	51
§ 12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції................	53
§ 13. Основні теореми про границі функцій...............................	56
§ 14. Обчислення границь функцій..............................................	59
§ 15. Істотні границі......................................................................	62
§ 16. Порівняння нескінченно малих...........................................	65
§ 17. Неперервність функції в точці............................................	67
§ 18. Властивості функцій, неперервних в точці........................	68
§ 19. Точки розриву і їхня класифікація......................................	69
§ 20. Властивості функцій, неперервних на відрізку.................	72
Вправи............................................................................................	74
Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної............................................................................	86
1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції...........	86
2. Поняття похідної...................................................................	88
3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої..................................................................	90
4. Диференційованість функції в точці.Диференціал...........	92
5. Похідні елементарних функцій...........................................	93
6. Основні правила диференціювання....................................	95
7. Похідна складної функції....................................................	97
8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій................	97
9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій.................................................	99
10. Таблиця похідних...............................................................	101
11. Похідна неявно заданої функції........................................	102
12. Похідна функції, заданої параметрично...........................	102
13. Похідні вищих порядків.....................................................	103
14. Наближені обчислення за допомогою похідної..............	105
15. Еластичність функції..........................................................	106
16. Застосування еластичності в економічному аналізі........	110
17. Основні теореми диференціального числення.................	114
18. Правило Лопіталя...............................................................	117
19. Зростання і спадання функції на проміжку......................	121
20. Екстремуми функції...........................................................	124
21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку….	130
22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин..........	131
23. Асимптоти графіка функції...............................................	135
24. Повне дослідження і побудова графіка функції..............	138
25. Застосування похідної в економіці...................................	141
Вправи.............................................................................................	149
Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних...........................................................................	160
1. Основні поняття....................................................................	160
2. Границя і неперервність.......................................................	162
3. Частинні похідні функції.....................................................	164
4. Повний диференціал............................................................	165
5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт...............	167
6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків............	169
7. Локальний екстремум функції багатьох змінних..............	171
8. Неявно задані функції..........................................................	173
9. Умовний екстремум..............................................................	175
10. Найбільше і найменше значення функції в області.........	177
11. Метод найменших квадратів.............................................	178
12. Економічні задачі................................................................	181
Вправи.............................................................................................	186
Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної.........	191
1. Первісна і невизначений інтеграл.......................................	191
2. Основні властивості невизначеного інтеграла...................	192
3. Таблиця невизначених інтегралів.......................................	194
4. Основні методи інтегрування..............................................	195
5. Поняття визначеного інтегралу...........................................	216
6. Геометричний зміст визначеного інтеграла.......................	217
7. Економічний зміст визначеного інтеграла.........................	219
8. Властивості визначеного інтеграла....................................	220
9. Формула Ньютона–Лейбніца...............................................	223
10. Заміна змінної у визначеному інтегралі...........................	226
11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі..........	227
12. Невласні інтеграли.............................................................	228
13. Наближене обчислення визначених інтегралів...............	233
14. Застосування інтеграла в геометричних задачах............	238
15. Застосування інтеграла в задачах економіки…………...	245
Вправи.............................................................................................	257
Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних...........................................................................	264
1. Об'єм циліндричного тіла....................................................	264
2. Означення подвійного інтеграла.........................................	265
3. Властивості подвійного інтеграла......................................	267
4. Обчислення подвійного інтеграла......................................	271
5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії.................	276
6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці.....................	281
7. Поняття про потрійний інтеграл.........................................	283
8. Заміна змінних в потрійному інтегралі.............................	287
9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці.....................	289
Вправи............................................................................................	290
Розділ 7. Ряди................................................................................	294
1. Числові ряди. Основні поняття...........................................	294
2. Властивості числових рядів.................................................	296
3. Необхідна ознака збіжності ряду........................................	298
4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів..............	300
5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца...............	309
6. Знакозмінні числові ряди.....................................................	312
7. Функціональні ряди. Основні поняття...............................	314
8. Область збіжності степеневого ряду..................................	316
9. Ряди Тейлора і Маклорена...................................................	323
10. Розвинення функцій в ряд Маклорена..............................	326
11. Застосування степеневих рядів.........................................	328
12. Динамічні ряди...................................................................	331
Вправи.............................................................................................	333
Розділ 8.Диференціальні рівняння...........................................	339
1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення.................................................	339
2. Диференціальні рівняння першого порядку......................	341
3. Диференціальні рівняння другого порядку.......................	355
4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами......................................	365
5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих.........................	369
6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами......................................	372
7. Системи диференціальних рівнянь.....................................	378
8. Задачі економічної динаміки...............................................	383
Вправи.............................................................................................	388
Відповіді до вправ........................................................................	394
Список літератури.......................................................................

ПЕРЕДМОВА

Математичний аналіз – самостійна математична наука, яка є теоретичною основою викладання багатьох економічних, соціологічних та спеціальних дисциплін, вина використовується в багатьох галузях науки та техніки, а також розумними бізнесменами та керівниками різного рівня.

Тому математичний аналіз становить обов’язкову частину математичного циклу дисциплін усіх економічних вищих навчальних закладів, зокрема, спеціальності „Економічна кібернетика”.

Більшість наявних підручників з математичного аналізу призначено для студентів вищих технічних навчальних закладів або математичних та фізичних спеціальностей університетів. Вони розраховані на досить велику кількість учбових годин та високий рівень знань та навичок студентів не тільки з елементарної математики, але й вищої алгебри та геометрії.

Мета цього навчального посібника – ознайомити студентів економічних вищих навчальних закладів, а також усіх зацікавлених фахівців з основними поняттями, методами, теоремами та формулами математичного аналізу, допомогти їм набути первинні навички застосування теоретичного матеріалу в багатьох випадках.

Посібник розроблено відповідно типової учбової програми дисципліни „Математичний аналіз”, затвердженої Міністерством освіти і науки України для спеціальності „Економічна кібернетика” вищих навчальних закладів. Він містить багато розв’язаних прикладів, завдань для самостійної роботи студентів та поточного контролю якості одержаних знань та навичок.

Розподіл матеріалу на розділи та параграфи дозволяє виділити головне, зосереджує на ньому увагу читача.

Автори звертають увагу читача на те, що вивчати матеріал цього посібника треба послідовно з обов’язковим розв’язуванням задач: вправи доцільно виконувати після ознайомлення з теоретичним матеріалом та прикладами, наведеними у навчальному посібнику.

Автори впевнені, що посібник буде корисним не тільки студентам вищих навчальних закладів економічних спеціальностей стаціонарної та заочної форм навчання, але й фінансистам, керівникам різного рівня, бізнесменам, співробітникам податкової інспекції, страхових компаній тощо.

Розділ 1. Теорія множин

82. 1. Поняття множини

З кінця 19 століття до початку 20 століття найбільш універсальною мовою математики стала мова теорії множин. Це проявилось навіть в одному з означень математики, як науки, що вивчає різні структури (відношення) на множинах.

„Під множиною ми розуміємо об’єднання в одне ціле певних об’єктів нашої інтуїції або нашої думки” – так визначив поняття „множина” Георг Кантор (G. Cantor), засновник теорії множин. Основні твердження канторовської теорії наступні:

1. множина може складатись із будь-яких об’єктів що різняться між собою;

2. множина однозначно визначається набором об’єктів з яких складається;

3. будь-яка властивість визначає множину об’єктів, які мають цю властивість.

В сучасній математиці множину визначають наступним чином.

Означення 1.1. Множина – це математичний об’єкт, який має певний набір властивостей.

Якщо – об’єкт, – властивість, – позначення того, що – має властивість , то через позначають весь клас об’єктів, які мають властивість . Об’єкти, які складають клас або множину називають елементами класу або множини.

Будемо позначати множини великими літерами латинського алфавіту, а елементи множини – відповідними малими літерами.

Твердження „ є елементом множини ” коротко пишуть: , а протилежне твердження: .

Для запису математичних тверджень часто використовують логічні оператори („існує” або „знайдеться”) і („будь-який” або „для будь-якого”), які називають кванторами існування та загальності відповідно.

Н априклад, запис означає, що для будь-якого об’єкту співвідношення і рівносильні. Оскільки множина визначається своїми елементами, то розглянуте твердження можна позначити коротко , тобто „ дорівнює ”, тобто множини співпадають. Таким чином, дві множини рівні, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів. Протилежне твердження записують наступним чином:

Якщо будь-який елемент множини є елементом множини , то пишуть: або і кажуть, що множина є підмножиною множини , або що включає в себе (рис. 1.1).

Враховуючи означення підмножини, можна записати, що

,

де означає „і”.

Якщо множина не має елементів, то її називають пустою множиною і позначають .

83. 2. Найпростіші операції над множинами

Нехай і підмножини множини .

Означення 1.2. Об’єднанням множин і називається множина , яка складається з тих і тільки тих елементів множини , які є елементами хоча б однієї з множин або (рис. 1.2). Знак означає „або”.

Означення 1.3. Перетином множин і називається множина , яка складається з тих і тільки тих елементів множини , які належать одночасно множинам і (рис. 1.3).

Означення 1.4. Різницею множин і називається множина , яка складається з тих елементів множини , які не належать множині (рис. 1.4).

Означення 1.5. Різниця між множиною і підмножиною називається доповненням до множини і позначається: або (рис. 1.5).

Наведемо деякі властивості операцій над множинами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Означення 1.6. Нехай та – довільні множини. Множина , утворена з усіх впорядкованих пар , перший елемент яких є елементом , а другий – елементом , називається прямим або декартовим добутком множин та .

Із означення декартового добутку випливає, що . Рівність має місце лише коли . В останньому випадку замість пишуть .