- •Розділ 1. Теорія множин
- •1. Поняття множини
- •2. Найпростіші операції над множинами
- •3. Числові множини
- •4. Обмежені множини. Верхні та нижні грані множин
- •5. Поняття функції (відображення)
- •6. Еквівалентні множини. Потужність множин
- •7. Потужність континуума
- •Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
- •1. Числові послідовності
- •2. Границя послідовності
- •3. Застосування послідовностей в економіці
- •4. Поняття функції
- •5. Способи задання функції
- •6. Деякі властивості функцій
- •7. Функція, обернена до даної
- •8. Класифікація функцій
- •9. Основні методи побудови графіків функцій
- •10. Приклади застосування функцій в економіці
- •11. Границя функції
- •12. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •13. Основні теореми про границі функцій
- •14. Обчислення границь функцій
- •15. Істотні границі Перша істотна границя
- •Друга істотна границя
- •16. Порівняння нескінченно малих
- •17. Неперервність функції в точці
- •18. Властивості функцій, неперервних в точці
- •19. Точки розриву і їхня класифікація
- •20. Властивості функцій, неперервних на відрізку
- •Розділ 3. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що приводять до поняття похідної функції
- •2. Поняття похідної
- •3. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої
- •4. Диференційованість функції в точці
- •5. Похідні елементарних функцій
- •6. Основні правила диференціювання
- •7. Похідна складної функції
- •8. Логарифмічне диференціювання. Похідна степеневої, показникової, показниково-степеневої функцій
- •9. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій
- •10. Таблиця похідних
- •11. Похідна неявно заданої функції
- •12. Похідна функції, заданої параметрично
- •13. Похідні вищих порядків
- •14. Наближені обчислення за допомогою похідної
- •15. Еластичність функції
- •Еластичності елементарних функцій:
- •16. Застосування еластичності в економічному аналізі Еластичність попиту відносно ціни
- •Еластичність і податкова політика
- •17. Основні теореми диференціального числення
- •18. Правило Лопіталя
- •19. Зростання і спадання функції на проміжку
- •20. Екстремуми функції
- •Необхідна умова екстремуму диференційованої функції.
- •Перша достатня умова екстремуму.
- •Друга достатня умова екстремуму.
- •Третя достатня умова екстремуму.
- •21. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •22. Випуклість, увігнутість графіка функції. Перегин
- •Необхідна і достатня умова випуклості (увігнутості) графіка функції.
- •Необхідна умова точки перегину.
- •Достатні умови точки перегину.
- •23. Асимптоти графіка функції
- •24. Повне дослідження і побудова графіка функції
- •25. Застосування похідної в економіці Граничний аналіз в економіці.
- •Задачі на екстремум.
- •Розділ 4. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •1. Основні поняття
- •2. Границя і неперервність
- •3. Частинні похідні функції
- •4. Повний диференціал
- •5. Похідна функції за даним напрямком. Градієнт
- •6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків
- •7. Локальний екстремум функції багатьох змінних
- •8. Неявно задані функції
- •9. Умовний екстремум
- •10. Найбільше і найменше значення функції в області
- •11. Метод найменших квадратів
- •12. Економічні задачі
7. Потужність континуума
Означення 1.24. Множину називають числовим континуумом, а його потужність – потужністю континуума. Потужність множини дійсних чисел позначають .
Відомо, що (теорема Кантора). Доведення випливає з доведення незчисленності множини точок відрізку . З теореми випливає, що і існують ірраціональні числа. Також відомо, що .
Вже на початку розвитку теорії множин виникло питання, чи існують множини проміжної потужності між зчисленними множинами і множинами потужності континуума, і було зроблено припущення, яке називають гіпотезою континуума, що проміжні потужності відсутні. В 1963 році американець Коен (I. Cohen) довів, що ця і протилежна гіпотези окремо не є протиріччям прийнятій в теорії множин аксіоматиці, а тому гіпотеза континуума не може бути ні доведена, ні заперечена.
Вправи
1.1. Нехай , , . З яких елементів складаються множини: , , , , , , , .
1.2. Зобразити на координатній площині множини , де , .
1.3. Довести тотожності:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ;
є) ;
ж) ;
з) ; і) ;
к) ; л) ;
м) ; н) .
1.4. З'ясувати яке з включень виконано або , або , якщо:
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , ;
д) .
1.5. Знайти , , якщо
а) , б) , в) .
1.6. Встановити взаємно-однозначну відповідність між множинами:
а) і ; б) і ;
в) і ;
г) і ;
д) і ;
є) множиною натуральних чисел і множиною парних натуральних чисел;
ж) і ;
з) - множина точок кола радіуса і ;
і) – множина точок круга, – множина точок квадрата.
1.7. Знайти потужності множин:
а) ;
б) множина точок площини з раціональними координатами;
в) множина кіл з раціональними координатами центру ( , ) і радіусом ;
г) множина точок відрізка , у яких у десятковому записі відсутня цифра 5;
д) .
1.8. Знайти точну верхню та точну нижню грані множин:
а) ; б) ;
в) - множина раціональних розв’язків нерівності ;
г) .
Розділ 2. Послідовності. Функції однієї змінної
1. Числові послідовності
Нехай кожному натуральному числу поставлено у відповідність число , тоді говорять, що задано числову послідовність або .
Загальний член послідовності є функцією натурального аргументу , тобто . Надаючи різні значення , одержимо послідовність значень функції:
Наприклад, для послідовність має вигляд:
Відмітимо, що послідовність задана, якщо зазначений спосіб одержання її членів.
Виходячи з означення, послідовність завжди має нескінченну кількість елементів: будь-які два різних її елемента відрізняються принаймні своїми номерами, яких нескінченна кількість.
Послідовність називається обмеженою, якщо множина її значень обмежена, тобто існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Геометрично це означає, що всі члени послідовності належать інтервалу .
Послідовність називається обмеженою зверху, якщо множина її значень обмежена зверху, тобто всі її члени менше деякого числа , тобто нерівність виконується , і обмеженою знизу, якщо множина її значень обмежена знизу, тобто існує таке число , що для всіх членів послідовності .
Так послідовність із загальним членом є обмеженою; послідовність натуральних чисел обмежена знизу; послідовність цілих від'ємних чисел обмежена зверху.
Послідовність, яка не є обмеженою (зверху, знизу) називається необмеженою (зверху, знизу).
Приклад 2.1. Довести обмеженість послідовності:
.
Розв’язання. З очевидних нерівностей
,
випливає, що , тобто послідовність обмежена.
Приклад 2.2. Довести необмеженість послідовності:
.
Розв’язання. Сформулюємо заперечення означення обмеженості послідовності: .
Розглянемо . Якщо , то і , , звідки .
Для візьмемо , наприклад , тоді , звідки випливає, що послідовність необмежена.
Верхню (нижню) грань множини значень елементів послідовності називають верхньою (нижньою) гранню даної послідовності і позначають ( ).
Будемо називати послідовність зростаючою, якщо і спадною, якщо .
Зростаючі і спадні послідовності називають монотонними. Наприклад, послідовність спадна, послідовність зростаюча, а послідовність не є монотонною.