- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
1. Первісна і невизначений інтеграл
Однією з основних задач диференціального числення є обчислення похідної заданої функції. Різні питання природознавства приводять до розв'язку оберненої задачі – відновленню функції по заданим її похідній чи диференціалу.
Означення 5.1. Функція називається первісною для функції на даному проміжку, якщо в кожній точці цього проміжку
. (5.1)
Так, для функції первісна чи , чи ..., тобто функція має не одну первісну.
Теорема 5.1. Якщо первісна для функції , то теж буде первісною для функції .
Припустимо, що у функції є первісна іншого вигляду і для неї виконується означення 5.1
.
Розглянемо функцію . Її похідна тобто . Отже, , звідки , тобто , де – довільна стала.
Можна стверджувати наступне. Якщо функція неперервна на проміжку, то вона має первісну на цьому проміжку.
Означення 5.2. Невизначеним інтегралом функції називається сукупність всіх її первісних.
Позначається невизначений інтеграл символом
, (5.2)
де – підінтегральна функція; – підінтегральний вираз; – змінна інтегрування; – диференціал змінної інтегрування.
Таким чином, , , і т.п.
Обчислення первісної чи невизначеного інтеграла називається інтегруванням функції. Очевидно, що інтегрування є операція, обернена диференціюванню.
Для того, щоб перевірити, чи правильно виконана операція інтегрування, досить продиференціювати результат і одержати при цьому підінтегральну функцію.
Наприклад, , оскільки
.
2. Основні властивості невизначеного інтеграла
Основні властивості невизначеного інтеграла наступні.
1) Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
.
2) Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу
.
3) Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює
.
4) Сталий множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла
, – стала.
Для доведення продиференціюємо ліву і праву частини рівності, одержимо ; .
Отже, ліва і права частини рівності співпадають.
5) Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів цих функцій
.
Переконатися в правильності рівності можна, продиференціювавши його ліву і праву частину.
Властивість 5 поширюється на будь-яке число доданків.
6) Формула інтегрування залишається вірною, якщо в ній замінити будь-якою диференційованою функцією , а – її диференціалом (властивість інваріантості невизначеного інтеграла), тобто
.
Обчислимо похідні лівої і правої частини останньої рівності по як від складної функції, одержимо
,
.
Отже, властивість вірна.
Наприклад, якщо , то , і т.п. Зокрема, якщо , то , у чому легко переконатися, обчисливши похідну лівої і правої частини рівності.
Наприклад, , і т.п.
3. Таблиця невизначених інтегралів
Кожна з наступних формул вірна на проміжках, які належать області визначення підінтегральної функції.
1. 2. .
3. . 4. .
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16. .
17. .
18.
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. 25.
Частина формул цієї таблиці безпосередньо випливає з визначення інтегрування як операції, оберненої диференціюванню і таблиці похідних. Інші формули легко можуть бути перевірені, для цього досить продиференціювати результат інтегрування й одержати підінтегральну функцію.