Лабораторна робота №2

Тема: Дослідження перехідних процесів у колах другого порядку при підключенні до джерела постійного струму.

Мета роботи: експериментально перевірити розрахунок перехідних процесів у колах другого порядку при підключенні до джерела постійного струму.

Теоретичні відомості

Загальний підхід до аналізу перехідних процесів

Завдання аналізу перехідних процесів полягає в загальному випадку у визначенні миттєвих значень струмів і напруг усіх або частини віток електричного кола в довільний момент часу після комутації. Для цього необхідно знайти загальне рішення основної системи рівнянь електричної рівноваги кола або системи рівнянь електричної рівноваги, складеної будь-яким іншим способом, при t > 0. Виключивши з системи рівнянь всі невідомі величини, крім однієї, одержують диференціальне рівняння кола, складене щодо цієї величини.

Класичний метод розрахунку

Класичний метод розрахунку перехідних процесів полягає в безпосередньому інтегруванні диференціальних рівнянь, що описують зміни струмів і напруг на ділянках кола в перехідному процесі.

У загальному випадку при використанні класичного методу розрахунку складаються рівняння електромагнітного стану кола за законами Ома й Кірхгофа для миттєвих значень напруг і струмів, зв'язаних між собою на окремих  елементах кола співвідношеннями, наведеними в табл. 1.

Таблиця 1. Зв'язок миттєвих значень напруг і струмів на елементах електричного кола

Резистор (ідеальний активний опір)	Котушка індуктивності (ідеальна індуктивність)	Конденсатор (ідеальна ємність)

У загальному випадку рівняння, що описує перехідний процес у колі з n незалежними накопичувачами енергії, має вигляд:

(1)

де у ― шукана функція часу (напруга, струм, потокозчеплення й т.п.);

f(t) ― відома примушуюча дія, що створюється напругою й (або) струмом джерела електричної енергії;

Частинне рішення у_вим рівняння (1) визначається видом функції f(t), що стоїть в його лівій частині, і тому називається вимушеною складовою. Для кіл із заданими постійними або періодичними напругами (струмами) джерел вимушена складова визначається шляхом розрахунку стаціонарного режиму роботи схеми після комутації кожним з розглянутих раніше методів розрахунку лінійних електричних кіл.

Друга складова у_в загального рішення у рівняння (1) ― рішення (1) з нульовою лівою частиною ― відповідає режиму, коли зовнішні (примушуючи) сили (джерела енергії) на коло безпосередньо не впливають. Вплив джерел проявляється тут через енергію, запасену в полях котушок індуктивності й конденсаторів. Даний режим роботи схеми називається вільним, а змінна у_в ― вільною складовою.

(2)

Відповідно до вищесказаного, загальне рішення рівняння (4) має вигляд

у = увим + ув.

(3)

Співвідношення (3) показує, що при класичному методі розрахунку післякомутаційний процес розглядається як накладення один на одного двох режимів ― примушеного, наступаючого як би відразу після комутації, і вільного, що має місце тільки протягом перехідного процесу.

Для визначення вільної складової у_в реакції кола необхідно знайти п коренів р_k характеристичного рівняння

(4)

відповідного однорідному рівнянню (2). Коли всі корені рівняння (4) прості (різні), вільна складова реакції має вигляд

(5)

тобто кожному простому кореню р_k відповідає доданок вільної складовї виду

де А_k — постійна інтегрування.

Перехідний пароцес у RLC-колі

Підключення до послідовного RLC-кола джерела постійної напруги

Рис. 1

Послідовне RLC-коло містить два незалежно включених реактивних елементи, тому процеси в ньому описуються диференціальним рівнянням другого порядку, а для визначення постійних інтегрування необхідно задати дві незалежні початкові умови. Якщо ЕРС ідеального джерела напруги змінюється в часі за законом

		0 при t < 0;
e(t) =		E = const при t ≥ 0.

то незалежні початкові умови кола мають нульові значення

u(0₊) = u(0₋) = 0; i(0₊) = i(0₋) = 0.

Для послідовного кола, що містить лінійні резистор R, котушку індуктивності L і конденсатор С, при його підключенні до джерела з напругою u (рис. 1) можна записати

(1)

Диференціюючи праву й ліву частини (1), одержуємо диференціальне рівняння розглянутого кола після комутації

(2)

Для визначення єдиного рішення цього рівняння, що відповідає заданому режиму роботи кола до комутації, необхідно визначити початкові значення струму кола і його першу похідну за часом. Початкове значення струму кола збігається з початковим значенням струму індуктивності

(3)

а початкове значення першої похідної струму кола за часом може бути знайдене з використанням незалежних початкових умов і рівняння електричної рівноваги кола (1) при t = 0₊

(4)

У зв’язку з тим, що стале значення струму цього кола після комутації дорівнює нулю, струм при t > 0 містить тільки вільну складову: i = i_в.

Характеристичне рівняння послідовного RLC-кола

(5)

має два корені

(6)

де — коефіцієнт загасання; — резонансна частота кола. Залежно від співвідношення між величинами ω₀ та δ, або, що те ж саме, залежно від добротності кола,

де Q ― добротність кола,

ρ ― характеристичний опір контуру, рівний повному опору ємності або індуктивності контуру на резонансній частоті,

корені характеристичного рівняння (5) можуть бути дійсними різними, комплексно-спряженими або дійсними однаковими (кратними). Розглянемо кожний із цих випадків.

Дійсні різні корені.

При малій добротності послідовного RLC-кола (Q < тобто R > 2∙ ρ і δ > ω₀₎ характеристичне рівняння (5) має два різних дійсних від’ємних корені, а вираз для струму кола після комутації (t > 0) містить два експонентних члени:

(7)

Диференціюючи праву й ліву частини виразу (7)

і використовуючи незалежні початкові умови (3), (4), становимо рівняння для визначення постійні інтегрування А₁ й А₂:

або

та

або

звідки

(8)

тому що

Згідно з (8) вираз для струму кола після комутації приймає вид

Розташування коренів р₁, р₂ характеристичного рівняння в площині комплексного змінного р і залежність нормованого струму розглянутого кола від часу

наведені на рис. 2, а. Перехідний процес у колі носить аперіодичний (не коливальний) характер, причому внаслідок того, що < друга складова нормованого струму кола загасає швидше, ніж перша .

Рис. 2. Розташування коренів характеристичного рівняння в площені комплексного змінного та залежність вільної складової струму послідовного RLС-кола від часу для

а — δ > ω₀;

б — δ < ω₀;

в — δ = 0;

г — δ = ω₀

Комплексно-комплексно-спряжені корені.

При великій добротності послідовного RLC-кола (Q > тобто R < 2∙ ρ і δ < ω₀) характеристичне рівняння (5) має два комплексні комплексно-спрежених корені

де — частота вільних коливань у колі. Струм кола після комутації, як й у попередньому випадку, визначався виразом (7), що після знаходження постійних інтегрування

може бути перетворене до виду

з урахуванням співвідношення

де

Таким чином, при вмиканні в послідовне RLC-коло з високою добротністю ідеального джерела постійної напруги перехідні процеси в ньому мають коливальний характер. Струм кола являє собою загасаючу гармонійну функцію, амплітуда якої експотенціонально зменшується в часі. Коливальний характер перехідного процесу в колі пов’язаний з періодичним обміном енергією між ємністю та індуктивністю, а загасання коливань визначається втратами енергії в опорі. Розташування коренів p_l, р₂ характеристичного рівняння в площині комплексного змінного р і залежність струму кола від часу показані на рис. 2, б. Корені характеристичного рівняння розташовані симетрично щодо дійсної осі в лівій напівплощині на півколі з радіусом, чисельно рівним резонансній частоті послідовного коливального контуру ω_0. Чим менше коефіцієнт загасання δ, тим ближче до мнимої осі розташовані корені рівняння, менше розходження між ω_в та ω₀ і повільніше загасання вільних процесів. У межі, при δ = 0, корені характеристичного рівняння розташовуються на уявній осі, частота вільних коливань збігається з резонансною частотою кола, а коливальні процеси в колі носять незатухаючий характер (рис. 2, в). Таким чином, резонансна частота RLC-кола чисельно дорівнює частоті вільних коливань у колі, коли коефіцієнт загасання δ дорівнює нулю.

Пунктирними лініями на рис. 2, б показані криві ± I_m(t), які характеризують закон зміни амплітуди струму у часі. Ці криві називаються обгинаючими. Величина, що чисельно дорівнює довжині підточної до обгинаючої струму, називається постійною часу послідовного RLC-кола. Очевидно, що за проміжок часу t = τ ордината обгинаючої струму зменшується в е раз. Швидкість загасання вільних процесів у розглянутому колі може бути охарактеризована також логарифмічним декрементом коливань θ, що дорівнює натуральному логарифму відношення двох максимальних значень струму, узятих через період вільних коливань

Знаходячи натуральний логарифм відношення ординат струму обгинаючої для t₁ ≠ 0 й t₁ + Т_в, можна прийти до висновку, що логарифмічний декремент коливань не залежить від вибору t₁, а визначається тільки добротністю кола Q:

Аналіз виразу (9) показує, що логарифмічний декремент коливань дорівнює нулю при δ = 0 (Q = ∞) і обертається в нескінченність при δ = ω₀ (Q = 1/2).

Кратний корінь.

При Q = 1/2, тобто при R = 2∙ ρ і δ = ω₀, характеристичне рівняння послідовного RLC-кола має два однакових дійсних корені р₁ = р₂ = − δ, розташованих на від’ємній півосі дійсних чисел в плошині комплексного змінного р (рис. 2, г). Загальне рішення диференціального рівняння (2) при t > 0 у цьому випадку має вигляд

Визначаючи за допомогою незалежних початкових умов (3) і (4) значення постійних інтегрування А₁ = 0, А₂ = E/L і підставляючи їх у вираз (10), отримуємо остаточно

Як і для дійсних різних коренів, перехідний процес у колі при однакових дійсних коренях має аперіодичний характер (рис. 2, г), тому умова Q = 1/2 є граничною умовою існування в колі аперіодичних вільних процесів. Режим роботи кола на границі між коливальним й аперіодичним характерами перехідних процесів називається критичним.

Отже, характер перехідних процесів у послідовному RLC-колі повністю визначається розташуванням коренів характеристичного рівняння в площині комплексного змінного.

Залежність характеру перехідних процесів від розташування коренів характеристичного рівняння в площині комплексного змінного властива не тільки послідовному RLС-колу, вона є загальною властивістю лінійних електричних кіл будь-якого порядку складності.