Лабораторна робота №3 на тему: „Інтерполяція функцій”.

Мета роботи: набути навичок побудови інтерполяційного полінома Лагранжа та використання його для обчислення наближених значень функції в заданих точках в середовищі MathCad.

Теоретичні відомості.

В загальному вигляді задача інтерполяції може бути поставлена так: дано ряд значень (дослідних даних), які розташовані в порядку збільшення аргументу (табл.1), що відображає залежність y від x. Необхідно знайти аналітичну залежність, що наближено відображує зв’язок між x та функцією y і визначити проміжні значення функції , де

Табл. 1

x	x0	x1	x2	…	…	xn
y	y0	y1	y2	…	…	yn

Під інтерполяцією розуміється заміна заданої дискретної функції y=f(x) деякою функцією для якої виконуються наступні умови:

(15)

Функція називається інтерполяційною функцією, відрізок - відрізком інтерполяції, а точки , - вузлами інтерполяції.

Основна умова інтерполяції – рівність вихідної дискретно заданої функції y=f(x) і інтерполяційної функції в вузлах інтерполяції.

На практиці за інтерполяційну функцію часто використовують поліном Лагранжа:

(16)

Цей поліном має степінь не вище n, тобто степінь полінома на одиницю менша за кількість вузлів інтерполяції, і в заданих вузлах , де

За допомогою цього полінома можна обчислити значення функції в точках, які відрізняються від вузлів інтерполяції.

Приклад виконання лабораторної роботи.

Завдання: дана таблиця експериментальних даних:

x(i)	1	2	3	4
y(i)	1	1.2	1.8	2

Визначити значення функції в заданій точці x=2.5 використовуючи інтерполяційний поліном Лагранжа. Побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа. Перевірити вірність побудови полінома. Побудувати графіки інтерполяційного полінома Лагранжа та таблично заданої функції.

Виконання:

1 спосіб.

Будуємо інтерполяційний поліном Лагранжа за табличними даними:

Виділяємо праву частину полінома, вибираємо команду меню Symbolics – Simplify, в результаті чого отримуємо :

Значення функції в заданій точці x=2.5 дорівнює

Перевірка вірність побудови полінома:

2 спосіб.

Задаємо вузли інтерполяції у вигляді векторів xt та yt.

Визначаємо степінь полінома Лагранжа:

Будуємо поліном Лагранжа:

Визначаємо значення функції в точці x=2.5

Перевіряємо вірність побудови полінома Лагранжа:

Побудова графіків інтерполяційного полінома Лагранжа та таблично заданої функції.

Лабораторна робота №4 на тему: „Апроксимація функцій. Метод найменших квадратів”.

Мета роботи: набути навичок побудови апроксимуючих функцій та обчислення їхніх найкращих параметрів, використовуючи метод найменших квадратів з використанням програми MathCad і табличного процесора Excel.