14. Загальна мех. Модель. Задачі стат. Фізики.

При мех. описании системы используется лагранжиан:

Из лагранжиана можно определить и . Тогда перейдем к гамильтониану:

В стат. физике больше используется формализм Гамильтона.

Понятие фазового пространства является основополагающим в стат. физике. Пусть есть N частиц переменных. Полный набор координат и импульсов во всей области их определения, называется ФП. точка задаёт состояние системы. Если известна точка, то можно предсказать динамику системы.

Кривая движения в ФП – фазовая траектория частицы. Она в общих случаях находится в 2N измерениях. ФП может замыкаться но не может пересекаться. Время t- параметр кривой. Кривая очень сложна, поэтому вычисляют вероятности.

Совокупность всех возможных состояний системы в фазовом объёме называют статическим ансамблем. Взяв вместо одной траектории несколько, получим вероятности различных состояний системы.

Каждой точке соответствует касательная.

Плотность вероятности

- полная вероятность системы

- эл-нт объема

Если система находится в равновесии, то плотность вероятности не зависит от t.

Теорема Лиувилля говорит о сохранении плотности вероятности потока с течением времени

Предположим, что нашли некоторую зависимость координат и импульсов системы от t. Будем обозначать совокупность как

Элемент фазового объёма

Необходимо получить изменение элемента объёма. Это переход к другим координатам. Изменение объёма – переход к другим координатам.

Якобиан перехода – это детерминант матрицы, состоящей из всех частных производных

, - рядок, - столбец.

- малый параметр, поэтому можно отбросить члены высших порядков по . Используя метод алгебраических дополнений, можно получить, что при условии отбрасывания якобиан будет:

(произведение членов)

Физически теорема Лиувилля означает, что при изменении t элементарный фазовый объём не меняется.(но оно может изменять свою форму). То же можно сказать и об макроскопическом объёме.

Предположим, что есть стац. система. Тогда её фазовая траектория не меняется.

Пусть есть некоторая функция (давление энергия).

Механически среднее F можно определить как среднее по t

Для равновесной системы должно стремиться к константе. Это механическое определение.

В статической физике среднее определяется по-другому. Есть распределение вероятности

Это среднее по ансамблю, которым можно заменить среднее по t. Это утверждение составляет эргодическую гипотезу.

15. Властивості фазового простору.

нет в конспекте

16. Класична стат. Фізика. Ергодична гіпотеза. Мікроканонічний розподіл. Умови застосування та вигляд розподілу, умови нормування.

В статической физике среднее определяется по-другому. Есть распределение вероятности

Это среднее по ансамблю, которым можно заменить среднее по t. Это утверждение составляет эргодическую гипотезу.

Микроканоническое распределение

Теорема Лиувилля говорит, что при движении по фазовой кривой (ФО) со не меняется. Если система равновесная, то со временем меняться не будет (сгустки перемешиваются). ФК может проходить не через все точки ФН. Это ограничение возникает в следствии существования интегралов движения. в изолированной системе собир. Энергия, поэтому вся ФК лежит в одной плоскости. ω=const по этому любой участок ФК не отличается от любого другого участка ФК.

. эти 2 постулата и задают МКР. МКР -- это распределение плотности вероятности нах-ие системы для одной системы . В нем система может находится только в одной плоскости с фикс Е и точки ничем не отл. друг от друга.

С введена для нормировки

δ – ф-ю можно рассматривать как предел нормального распределения, корда параметр А  ∞ если хотим узнать направление то умножим его на V и про интегрируем.

С может зависеть от энергии, а если Н зависит то внешних переменных, то С тоже будет зависеть от них. С=С(Е)

Обычно пишут:

Предположим система состоит из 2 независимых подсистем с . С-мы могут обмениваться энергией между собой, но не с окр. Пространством. Взаимодействие между системами считают слабым, тогда ч-н общ с-мы . Поскольку с-мы независимы, то общая вероятность

Нужно проинтегрировать чтобы получить полное решение

флуктуирует 2 с-мы в состоянии равновесия обладают одинаковой Т. Найдем наиболее вероятное значение

(доказательство второго постулата термодинамики)

Чаще всего будет наблюдаться такое состояние когда

. Т.е. из стат. механики 2ПТД выв-ся как наиболее вероятное состояние.

Величина k – малая; S – большая ;expS – еще больше. Из этого следует что флуктуации энергии очень малы.

Гамильтониан идеального газа:

Для нахождения среднего, берем ф-ю от которой хотим найти среднее, умножаем на ω и интегрируем. Пусть система состоит из N частиц

Перейдем к ССК в многомерном случае

. Можно показать, что это энтропия идеального газа.