Количественные показатели надежности

1. Вероятность отказа

Для количественной оценки надежности служат различные показатели. Одним из основных показателей является вероятность отказа прибора.

Отказы, как правило, носят случайный характер, поэтому математический аппарат для оценки надежности основан на теории вероятности.

Вероятность отказа - вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени произойдет хотя бы один отказ. Вероятность отказа характеризуется функцией Q(t).

Пусть t - время, в течение которого необходимо определить вероятность отказа, а Т- время работы аппаратуры от момента ее включения до первого отказа. Очевидно, что Т есть непрерывная случайная величина, которую иногда называют временем «жизни» аппаратуры. Согласно определению, для вероятности отказа справедливо выражение

, (1)

т.е. вероятность отказа - это вероятность того, что случайное время жизни аппаратуры Т будет меньше наперед заданного времени i, в течение которого определяется вероятность отказа.

Так как вероятность отказа есть не что иное, как функция распределения случайных промежутков времени работы аппаратуры от момента ее включения до первого отказа, или времени жизни аппаратуры, то для вероятности отказа Q(t) характерны следующие качества:

1. Q(t) - является неубывающей функцией (рис.3);

2. 0 ≤ Q(t) ≤ 1;

3. Q(0)=0, Q(∞)=1

С точки зрения статистического анализа вероятность отказа определяется следующей формулой:

, (2)

где n(t) - число отказавших образцов аппаратуры за время t;

N(0) - число исправных образцов в начальный момент времени t = 0.

Выражения (1) и (2) являются соответственно вероятностным и статистическим выражениями вероятности. Здесь и далее статистические оценки числовых характеристик надежности будут помечаться звездочкой.

Статистическая оценка вероятности (2) существенно зависит от N(0) и при малых N(0) является случайной величиной. Однако с ростом N(0) оценка Q*(t) стабилизируется и при достаточно больших N(0) мало отличается от вероятностной оценки Q(t). В соответствии с формулой (2) вероятность отказа для любого момента времени представляет собой долю образцов аппаратуры (элементов), отказавших к данному моменту времени от числа первоначально установленных в эксплуатацию. Поскольку с течением времени количество отказавших элементов может только лишь увеличиваться, то функция распределения вероятности отказа есть неубывающая функция (рис. 3).

2. Вероятность безотказной работы

Вероятность безотказной (исправной) работы - вероятность того, что в заданном интервале времени при заданном режиме и определенных условиях работы не произойдет ни единого отказа, т.е. вероятность того, что данное изделие будет непрерывно сохранять работоспособность в течение определенного интервала времени при определенных условиях эксплуатации.

Вероятность безотказной работы характеризуется функцией P(t). Согласно определению

,

т.е. вероятность того, что случайное время Т от момента включения аппаратуры до ее отказа будет не меньше времени t, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.

С точки зрения статистического анализа вероятность безотказной работы в интервале времени 0 / t определяется как отношение числа приборов, безотказно проработавших до момента времени t, к числу приборов, исправных в начальный момент времени t = 0

, (3)

где: N(t) — число исправных устройств в момент времени t,

N(0) - число исправных устройств в начальный момент времени t = 0;

n(t) — число отказавших устройств к моменту времени t.

В интервале времени от t до t + t₀ вероятность безотказной работы P(t) представляет собой условную вероятность того, что случайное время работы устройства до отказа окажется больше величины t + t₀ при условии, что прибор уже проработал безотказно до момента времени t:

, (4)

где: N(t + t₀) - число приборов, исправных в момент времени t+t₀.

Выражение (3) можно записать как

P*(t) = 1 - Q*(t), (5)

тогда вероятностная форма вероятности безотказной работы примет вид:

P(t) = 1 - Q(t). (6)

Последние соотношения определяют основные свойства вероятности безотказной работы:

1 . P(t) является убывающей функцией времени (рис. 4);

2. 0 P(t) 1;

3. Р(0)=1, Р(∞) = 0.

Зависимость вероятности безотказной работы P(t) представлена на рис. 2.

Из данного рисунка видно, что P(t) монотонно убывает с увеличением наработки. То есть запас надежности, имеющийся у прибора на начальный момент времени t = 0, постепенно расходуется и при достаточно длительном времени эксплуатации прибор становится практически неработоспособным.

Рис. 4. Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени

Следует подчеркнуть следующее.

Если имеется несколько (К) механизмов отказа и известны вероятности безотказной работы, обусловленные каждым из этих механизмов (P_i), то вероятность безотказной работы, обусловленная всеми этими механизмами (P_рез) в соответствии с теорией вероятности равна произведению всех составляющих вероятностей, т.е.

Р_рез=Р₁ *Р₂…Рк.