Тема 4: Однородные координаты и матричное представление преобразований.

Однородные координаты используются для преобразования координат объекта в специальные координаты для упрощения матричного представления преобразований.

Матричное представление используется для всех 3 видов преобразования. Также однородные координаты используются для реализации пошаговых преобразований. Эти операции представляют собой в виде произведения матриц соответствующих преобразований.

Для упрощения расчета используется результирующая матрица преобразований. Матричное произведение в КГ называется композицией и создается специальный математический аппарат, позволяющий включить в себя все 3 вида преобразований.

Однородные координаты записываются для 2D в виде триплета (wx, wy, w); а для 3D – (wx, wy, wz, w), где w – масштабный множитель. Чтобы перейти от однородных координат к обычным, необходимо разделить все координаты на последнюю. В ГР при обычных координатах w=1. Происходит переход от n-мерного пространства к n+1-мерному. Обратное преобразование называется проекцией однородных координат.

Тема. Матричное преобразование 3Д.

В однородных координатах преобразование центральной проекции можно определить матричной операцией.

K 0 0 0

0 k 0 0

0 0 1 0

0 0 0 k

Преобразование точки в перспективную проекцию. Используя данную матрицу и мат аппарат можно реализовать различные 3D преобразования. Координата Z в однородных координатах равна 1, т.к. на проекционной плоскости нельзя отобразить .

Тема. Двумерные преобразования в однородных координатах.

Точки двумерного пространства в ГР описываются трехэлементным вектором. Поэтому матрицы преобразования, на которые будут умножаться вектор точки, тоже будет иметь размерность 3х3. Для перемещения матричное преобразование в однородных координатах будет иметь след форму :

При пошаговом перемещении производится умножение матриц в том кол-ве, сколько шагов. Результирующая матрица перемещения =

Для операции масштабирования будет следующим :

Если используется пошаговое масштабирование, используется операция умножения матриц.

Для вращения матрица будет иметь вид

При пошаговом вращении происходит умножение матриц вращения.

Результирующая матрица вращения будет след :

Мат аппарат преобразований сделан таким образом, что любое кол-во последовательных преобразований можно записать в виде одной матрицы, которая называется одной матрицы – результирующей матрицы, являющаяся произведением матриц преобразования.

Тема 5. Проецирование на проекционные плоскости.

В ГР проекционная плоскость является двумерной и для того, чтобы преобразовать 3Д в 2Д в них используются различные математические модели. В них должны учитываться различные факторы, влияющие на визуальное преобразование человека. Способ перехода от трехмерных объектов к их изображению на плоскости называется проекцией. В ГР используются различные виды проекций. Но в общем случае проекции преобразуют точки, заданные в 3Д координатах в 2 Д. Проекции строятся при помощи проецирующих лучей или проекторов, которые выходят из точки – центра проекции, и проходят через проекционную плоскость. Затем проходят через каждую точку трехмерного объекта, образуя проекция на плоскости.

Используются только плоские проекции.

//См. конспект по черчению за 1 курс.

Центральная проекция – центр проекции находится на конечном расстоянии от проекционной плоскости.

Параллельная проекция – центр находится на большом расстоянии.

Для упрощения математического аппарата используются точки схода.

Точка схода – это точка пересечения центральных проекций любой сложности параллельных прямых, которые не параллельны проекционной плоскости.

/косоугольная проекция/Ковалье используется для создания сцен при большом объеме или расстоянии.

/косоугольная проекция/ Кабинетная – создание сцен высокого качества в закрытом пространстве.

Ортографические проекции используются в большинстве случаев в ГР, и учитывается соотношение между направлениями проецирования и нормали проекционной плоскости. Если он совпадают, то проекции называются ортографическими/ортогональными. Если не совпадают, то – косоугольными. В зависимости от положения осей координат ортографические проекции, у которых эти углы равны, называются изометрическими. И приводит к визуальному эффекту, подобному тому, что дает зрительная система человека. При этом наблюдается эффект перспективного укорачивания (размер проекции изменяется обратно пропорционально расстоянию до объекта). В центральных проекциях отсутствуют перспективное укорачивание, следовательно, изображения менее реалистично.

Для объемного восприятия существуют несколько факторов, используемые в ГР.

1)Проволочное изображение. Любая кривая апроксимируется отрезками прямых. Наиболее быстрые способ изображения 3Д. Для усиления эффекта глубины удаляются невидимые линии. Для удаления невидимых линий используется специальные алгоритмы.

2)Передача глубины может передаваться изменением уровня яркости, освещения или отражения объекта. Объекты, находящиеся ближе к наблюдателя, ярче, чем то, что дальше от него. Движение объектов в сцене также можно помочь в достижении дополнительной глубины объекта. При этом используется кинетический и динамический эффект глубины.

3) Трехмерность объектов может быть усилена за счет отражающих способностей объекта, его рельефа и текстуры.

4) Внешний фактор – стереоскопия.