Геодезичні напрямки на поверхні

Лінія на поверхні називається геодезичною, якщо в кожній точці геодезична кривизна дорівнює нулю.

Для того щоб ліня на поверхні була геодезичною потрібно, щоб головна нормаль кривої, в даній точці, збігалася із нормаллю до поверхні в даній точці.

Якщо, наприклад, дві поверхні перетинаються по кривій лінії, яка є геодезичною на даній поверхні, то вона буде і геодезичною на іншій поверхні.

ЗАУВАЖЕННЯ: через кожну точку регулярної, принаймні двічі неперервно-диференційовну криву в кожному напрямку можна побудувати геодезичну лінію.

Простим прикладом геодезичної лінії є кола великих радіусів, на сфері.

ЗАУВАЖЕННЯ: відстань між двома точками на поверхні є найкоротшою по геодезичній лінії.

Сферичне зображення області на поверхні Теорема Гауса

Нехай задано на регулярній поверхні деяку область:

-в кожній точці області Q побудуємо одиничний вектор нормалі;

- відкладемо всі одиничні вектори нормалей від даної точки простору;

- кінці всіх цих векторів будуть лежати на сфері одиничного радіуса.

Множину точок,яка є кінцями відкладених одиничних векторів від даної т. О області, назвемо сферичним зображенням області Q.

Між площею зображення області Q і площею самої області Q існує певний зв’язок, який виражається теоремою Гауса.

Теорема :

Відношення площі сферичного зображення області до площі області прямує до абсолютного значення Гаусової кривизни в точці, якщо сама область стягується в цю точку.

Ізометричні поверхні Згинання поверхні

Дві поверхні Ф і Ф’ називаються ізометричними, якщо існує ізометричне відображення поверхні Ф на поверхню Ф’.

Відображення поверхні Ф на Ф’ називається ізометричним, якщо відповідні криві на даній поверхні мають однакові довжини.

Якщо дані дві поверхні Ф₁ і Ф₂ можна параметризувати так щоб їх перші квадратичні форми були однакові, то дані поверхні будуть ізометричними, і навпаки.

Так як довжина дуги кривої на поверхні, кут між двома кривими на поверхні і площа куска поверхні виражаються через коефіцієнти першої квадратичної форми, то при ізометричному відображені поверхня збігатиметься із величиною кута і площею куска поверхні.

Простим прикладом ізометричного відображення поверхні є згинання поверхні.

Згинанням поверхні називається така деформація цієї поверхні при якій не змінюється довжина кривої на цій поверхні.

Теорема Гауса-Бонне(без доведення)

Нехай дано регулярну, принаймні двічі непевно-диференційовану поверхню (1)

• на даній поверхні розглянемо деяку область Q, обмежену кусково-регулярною кривою ;

• кути

• - геодезична кривизна кривих.

Визначимо напрямок обходу по лінії , з того боку поверхні якому належить нормаль до поверхні так, щоб область Q завжди знаходилась з права, тоді для такої області на поверхні (1) має місце теорема:

Теорема Гауса-Бонне:

Для всякої області Q на поверхні (1) має місце рівність:

де - елемент площі

- інтегральна кривизна

Припустимо,що лінії є геодезичними, тоді =0, тоді:

Припустимо, що лінія є геодезична, то маємо

Припустимо, що область Q обмежена трьома геодезичними лініями (геодезичний трикутник):

Якщо Гаусова кривизна дорівнює нулю, тоді

Отже сума внутрішніх кутів трикутника на площині дорівнює 180^о., якщо Гаусова кривизна більша нуля, то маємо сферу.