Перша квадратична форма поверхні
Нехай
задано регулярну поверхню
,
принаймні двічі неперервно-диференційовна,
розгляне повний диференціал по
:
Першою
квадратичною формою поверхні (1)
називається квадрат повного диференціала
функції
Знайдемо вираз для першої квадратичної форми:
- перша
квадратична форма
-
коефіцієнта Гауса I
квадратичної форми
Як визначити коефіцієнти Гауса, якщо поверхня задана параметрично?
Нехай
,
тоді
Нехай
, то
коефіцієнти
Гауса будуть мати вигляд
Застосування першої квадратичної форми
Обчислення довжини дуги кривої на поверхні:
Розглянемо поверхню (1), на якій розглянемо лінію , яка задана рівнянням : , знайдемо зовнішнє рівняння лінії : і для обчислення довжини дуги кривої (2) скористаємось формулою:
, знайдемо
Отже
- довжина
дуги кривої на поверхні
Отже довжина дуги кривої на поверхні виражається через першу квадратичну форму, тому її ще називають метричною формою.
ЗАУВАЖЕННЯ: Геометричні (фігури) поняття на поверхні, які виражаються через першу квадратичну форму належать до понять внутрішньої геометрії.
Внутрішня геометрія – це частина геометрії, яка вивчає властивості геометричних фігур на поверхні засобами тільки самої поверхні.
Визначення кута між двома кривими на поверхні :
Нехай на поверхні (1) задано дві криві лінії і , які перетинаються.
Напрямком
на поверхні називається вираз
Нехай
напрямок лінії
визначається вектором
і
вектором
;
Кутом
між
двома кривими на поверхні в даній точці
називається кут між напрямками даних
кривих
визначимо кут між і , як кут між і , а для цього скористаємось формулою:
,
знайдемо
:
- формула визначення кута між двома кривими на поверхні
визначимо тепер кут між координатними лініями, скористаємось отриманою формулою:
;
підставимо у формулу
- формула
для обчислення кута між двома координатними
лініями
Вияснемо
при якій умові координатна сітка на
поверхні буде ортогональна
,
тоді
.
Отже, для того щоб координатна сітка на поверхні була ортогональною потрібно щоб другий коефіцієнт дорівнював нулю.
О
бчислення
площі куска поверхні:
Розіб’ємо
область Q
на
n-
частин і виберемо на одній з них точку
,
площа цієї частини
.
Виберемо тут довільну т. Р і проведемо
через неї дотичну площину. Запроектуємо
цю частину області на площину, отримаємо
плоску частину
Якщо
ці малі області ще розбити на частинки
і припустити що
,
то різниця областей
і
(між їхніми площами) буде мінімальна.
Під площею області будемо розуміти:
Із курсу математичного аналізу нам відомо, що, якщо поверхня задана рівнянням
, то площу області Q на даній поверхні обчислюється за формулою:
Маємо
:
- формула
обчислення площі куска поверхні
Вияснемо
геометричний зміст виразу
додамо дві останні рівності:
Отже
ми отримали, що
,
це є площа паралелограма, побудованого
на векторах
.