Теперь выражение (2.1) примет вид

(2.7)

Таким образом, поверхностная модель будет корректна, если входящие в ее струк­туры данных топо­логические отно­шенияF(S) будут упорядочены, то есть вершины для каждой грани будут перечислены после­довательно в опре­деленном порядке обхода, а каждое из отношений будет представлено коль­цевой структурой (рис.2.5.а). Направ­ление обхода вер­шин (одно из двух возможных) не влияет на определение площади грани, что разрешает использование в одной модели разных направлений обхода у разных граней.

Так как поверхностная модель должна обеспечивать возможности каркасной, а следовательно, включать необходимые для последней топологические отношения, то, в случае использования в структурах данных отношений A(S) или S(A), в поверхностной модели могут быть использованы F(A) вместо F(S). Для обеспечения корректности модели топологические отношения F(A) должны быть упорядочены так же, как F(S), и представляться кольцевыми структурами (рис.2.5.б).

Рассмотрим необходимые условия, накладываемые на структуры данных топологических отношений твердотельных моделей необходимостью определения объема моделируемого объекта.

По аналогии с определением площади многоугольника объем многогранного тела может быть определен как алгебраическая сумма объемов призм, основаниями которых будут проекции граней на выбранную координатную плоскость. Знак, приписываемый объему каждой такой призмы, будет определяться совпадением (+) или несовпадением (-) направления нормали к образующей призму грани многоугольника с направлением координатной оси, перпендикулярной плоскости проекции. По отношению к моделируемому объекту нормаль грани должна быть направлена от тела, а не внутрь него. При использовании выражений (2.4) и (2.5) необходимо ввести ограничение на значения L, M и N: вершины s_M,s_Lи s_Nдолжны быть последовательными элементами кольцевой структурыf_I(S)в принятом направлении обхода элементов контура грани. То есть, полагая, что L, M и N являются номерами элементов кольцевой структурыf_I(S),а не номерами вершин объекта, для них должны выполняться следующие условия в зависимости от принятого направления обхода

M=L-1, N=L+1 (обход против движения часовой стрелки) (2.8)

M=L+1, N=L-1 (обход по движению часовой стрелки)

Для достижения единообразия процедур определения нормалей граней необходимо выполнение еще одного ограничения, связанного с выполнением требования о направлении нормалей граней от тела. Для его обеспечения необходимо, чтобы последовательность размещения элементов кольцевых структур отношенийF(S) или F(A) определялась одинаковым направлением обхода элементов контуров всех граней.

Рассмотрим проекцию призмы (рис.2.3) на плоскость, перпендикулярную xoy и параллельную нормали грани (рис.2.6). Объем Viэтой призмы составит

(2.9)

где S_X0Y - площадь проекции грани F_i на плоскость XOY (2.6);

z_min, z_max - значения минимальной и максимальной аппликат элементов, принадлежащих F (S);

sign (n_z) - функция, принимающая значения:

1 для n_z >0; -1 для n_z <0; 0 для nz =0.

В результате объем моделируемого тела составит

(2.10)

где m - число граней объекта.

Введенные выше ограничения, приводящие к упорядочиванию топологических отношений F(S) и F(A), являются необходимыми, но не достаточными. Учет различных функций использования трехмерной геометрической модели (закраска граней изображения, удаление невидимых элементов, получение разрезов и сечений, решение позиционных и метрических задач и т.д.) выдвигает в качестве достаточного условия требование о возможности точного определения любого из 9 топологических отношений. Выполнение этого требования может быть обеспечено наличием в структуре данных модели дескриптора вершин и, как минимум, двух топологических отношений, содержащих в своих аббревиатурах все три символа S, A и F, за исключением отношений S(S), A(A) и F(F). То есть, минимальный объем информации, которая должна присутствовать в структурах данных трехмерной модели многогранного объект, может иметь одно из следующих сочетаний.

S(X,Y,Z) + S(A) + S(F) S(X,Y,Z) + A(S) + S(F)

S(X,Y,Z) + S(A) + F(S) S(X,Y,Z) + A(S) + F(S)

S(X,Y,Z) + S(A) + F(A) S(X,Y,Z) + A(S) + F(A) (2.11)

S(X,Y,Z) + S(A) + A(F) S(X,Y,Z) + A(S) + A(F)

S(X,Y,Z) + S(F) + A(F) S(X,Y,Z) + A(F) + F(S)

S(X,Y,Z) + S(F) + F(A) S(X,Y,Z) + F(S) + F(A)

Все вышесказанное относится к многогранным объектам без отверстий, включение которых требует введения дополнительных топологических элементов (контуров и т.п.), а следовательно, новых топологических отношений. Это же относится к случаю неплоских граней объекта, за исключением его визуализации, когда объект аппроксимируется многогранником.