- •2. Виды связей и их реакции
- •Выполнить следующие действия:
- •Примеры определения моментов сил относительно координатных осей
- •3. Моменты относительно координатных осей силы натяжения приводного ремня шкива, закрепленного на
- •Кинематика
- •Простейшие движения твердого тела
- •1.Поступательное движение
- •2. Вращательное движение
- •3. Передача вращательного движения
- •2.4. Ускорения точек вращающегося тела.
- •3. Плоскопараллельное движение твердого тела
- •2. Скорость каждой точки равна произведению угловой скорости плоской фигуры на расстояние точки до мгновенного центра скоростей.
- •3. Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей
- •4.Угловая скорость плоской фигуры равна скоростей любой ее точки, деленной на расстояние до мгновенного центра скоростей.
- •2. Кривошип и шатун расположены на одной прямой
- •4. Сложное движение точки.
- •При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
- •4.3.1. Примеры определения ускорения Кориолиса.
2. Кривошип и шатун расположены на одной прямой
В этом положении мгновенный центр скоростей находится в точке В, поэтому скорость VB равна нулю.
Скорость точки С находится из пропорции:
Угловая скорость шатуна равна
3 . Кривошип занимает вертикальное положение . В этом случае мгновенный центр скоростей шатуна находится в бесконечности, скорости всех его точек равны, угловая скорость шатуна равна нулю.
План скоростей
План скоростей представляет собой графический метод определения скоростей точек плоской фигуры. Для его построения необходимо знать модуль и направление одной точки плоской фигуры и направление скорости другой точки.
Пусть известны вектор скорости точки А и направление скорости точки В . Определить модуль скорости точки В.
Скорость точки В определяется формулой
.
В этой формуле известны направление и модуль скорости точки А, направление скорости точки В и направление скорости , так как .
Выбираем произвольный центр О и в произвольно выбранном масштабе откладываем вектор . Из этой же точки поводим прямую, параллельную скорости точки В (рис.а), затем из точки а проводим прямую, параллельную скорости , т.е. перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения прямых, одна из которых параллельна , другая - , определяет точку в, полученный вектор а вектор .(рис.б)
Определим на плане скоростей модуль и направление скорости точки С. Выбираем за полюс точку А, тогда . Если бы была известна скорость , то, отложив от точки а вектор , получили бы вектор Но известно только направление этого вектора , поэтому учтем, что конец вектора на плане скоростей (б) лежит на прямой, проведенной из точки а перпендикулярно АС.
С другой стороны,
, где .
Это означает, что конец вектора (рис.с.) должен находится на прямой, проведенной через точку в перпендикулярно отрезку ВС.
Таким образом, конец скорости находится в точке с пересечения прямых, перпендикулярных к отрезкам АС и ВС, т.е. на плане скоростей . Как следует из построения, треугольники АВС и авс подобны и повернуты друг относительно друга на угол 900.
Задача. Определить скорости точек В и С шатуна кривошипно-шатунного механизма (рис.а) путем построения плана скоростей, если известно, что угловая скорость кривошипа ОА равна ω и АС = СВ.
Построение плана скоростей.
Скорость точки А перпендикулярна кривошипу и равна
VA = ω OA.
Скорость точки В направлена горизонтально влево.
, .
В ыберем полюс (б) и отложим из него в выбранном масштабе вектор . (рис.б). Из этого же полюса проведем прямую, параллельную вектору . Затем из конца вектора поведем прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Точка пересечения этой прямой и прямой, параллельной , определяет конец вектора .
Аналогично, , .
Кроме того,
Для того, чтобы определить вектор , разделим на плане скоростей отрезок ав пополам, полученную точку с соединим с точкой О вектором .
Ускорения точек плоской фигуры.
Движение плоской фигуры в своей плоскости можно разложить на поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой, принимаемой за полюс, и вращательное движение вокруг этого полюса.
Следовательно, ускорение любой точки при плоском движении равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения выбранного полюса, и ускорения, полученного данной точкой при ее вращательном движении вокруг полюса.
П
,
где ускорение вращательного движения точки А вокруг точки В раскладывается на нормальное и касательное ускорения:
Касательное ускорение вращательного движения точки вокруг полюса направлено перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему точку В с полюсом А, и равно
Нормальное ускорение направлено по отрезку ВА к полюсу А и равно
Окончательно, полное ускорение точки В равно геометрической сумме трех ускорений: ускорения выбранного полюса А, нормального и касательного ускорений вращательного движения точки В вокруг этого полюса:
План ускорений
Ускорения точек плоской фигуры могут быть определены графически с помощью плана ускорений. Этот метод позволяет находить ускорение точки плоской фигуры при условии, что известна траектория этой точки, ее скорость и ускорение одной из точек этой фигуры.
Пусть известно ускорение точки А плоской фигуры, скорость точки В и ее траектория векторы на нем изображены без соблюдения масштабов).
Так как точка В совершает криволинейное движение, то ее ускорение раскладывается на нормальную и касательную составляющие:
. (а)
Оба ускорения известны по направлениям, ускорение направлено по касательной к траектории движения точки В, - по главной нормали.
Модуль нормального ускорения определяется по формуле для криволинейного движения
,
где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке.
Модуль касательного ускорения не определяется, так как закон движения точки В не задан. Следовательно, на основе анализа криволинейного движения полное ускорение точки найти не удается.
Проведем анализ плоского движения твердого тела, которому принадлежит точка В.
Плоское движение можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с точкой А и вращательного вокруг этой точки. В этом случае ускорение точки В выражается через ускорение точки А, модуль и направление которого известны, т.е.
, (б)
где и является полным ускорением точки В во вращательном движении плоской фигуры вокруг точки А.
В равенстве (б) все составляющие ускорения точки В известны по направлению. Ускорение точки А задано, ускорение направлено по прямой ВА к точке А, касательное ускорение - перпендикулярно прямой ВА.
Модуль ускорения определяется по формуле вращательного движения точки В вокруг точки А
,
где ω - угловая скорость плоской фигуры, ВА - радиус вращения.
Касательное ускорение по величине не определено.
Приравняем правые части выражений (а) и (б).
Д ля графического определения ускорения точки В используем выражения (а) и (б).
В этом равенстве одной чертой подчеркнуты векторы, у которых известно только направление, двумя чертами – векторы, для которых известны и направление и модуль.
Выберем неподвижную точку О за полюс и масштаб, в котором будем откладывать векторы ускорений. Отложим из точки О вектор и проведем к нему под прямым углом прямую, которая соответствует направлению вектора .
Из этой же точки О отложим вектор . Из конца этого вектора отложим вектор и проведем к нему перпендикулярную прямую, которая определяет направление вектора . Точка в пересечения прямых, соответствующих направлениям векторов и , определяет конец вектора . Соединим точки О и в (рис. 3.43) и получим в выбранном масштабе ускорение точки В.
Так как , то, соединив, на графике точки а и в получим полное ускорение вращательного движения точки В вокруг точки А.
Определим на графике ускорение точки С, которая делит расстояние между точками А и в пополам. Ускорение этой точки также можно выразить через ускорение точки А:
.
Ускорения точек при вращательном движении пропорциональны радиусам вращения, поэтому
.
Следовательно, для того, чтобы получить ускорение , достаточно на графике разделить расстояние ав пополам, полученную точку обозначим буквой с . Отрезок ас определяет величину ускорения . Соединяя точку с с точкой О получим на графике ускорение точки С плоской фигуры .
Задача. Построим план ускорений для механизма, в положении, указанном на рис. 3.45, если кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ω = 2 1/с, ОА = ВА =0,6м, СВ = 0,3 м, φ = 300.
Решение. При равномерном вращении кривошипа касательное ускорение точки А будет равно нулю, поэтому полное ускорение равно нормальному ускорению,
Вектор нормального ускорения направлен вдоль АО и равен
Ускорение точки В равно
. (а)
Ускорение точки В направлено горизонтально, так как ползун движется в горизонтальный направляющих, ускорение направлено к точке по прямой АВ, и равно
,
где ωАВ - угловая скорость шатуна АВ.
Угловую скорость звена АВ можно определить с помощью мгновенного центра скоростей который находится в точке Р пересечения перпендикуляров к скоростям в точках А и В.
Из треугольника ОАВ АВ = ОА tg600,
Из треугольника АВР:
АР = АВ tq 600 = OA tq2 600 =1,8 м.
Тогда
.
Таким образом, в равенстве (а) векторы и известны по модулю и направлению, ускорения и только по направлению. Ускорение направлено вдоль направляющих, ограничивающих движение ползуна, ускорение - перпендикулярно АВ
Используя все полученные значения, строим план ускорений Выберем неподвижную точку О за начало ускорений всех точек звена АВ и установим масштаб для изображения ускорений. Проведем из точки О прямую, параллельную вектору . Отложим из этой же точки вектор , конец которого обозначим буквой а. Из точки а отложим вектор (проведем прямую параллельную АВ), из конца этого вектора проведем прямую, параллельную вектору (перпендикулярно отрезку АВ) и продолжим ее до пересечения с направлением вектора . Полученную точку пересечения обозначим буквой в. Соединим точку О с точкой в, полученный отрезок OB в выбранном масштабе является ускорением точки В. Соединим точки а и в , полученный отрезок ав в выбранном масштабе представляет собой полное ускорение вращательного движения точки В вокруг точки А.
Д ля того, чтобы определить ускорение любой точки D шатуна АВ, следует отрезок ав, представляющий собой вращательное ускорение точки В вокруг точки А, разделить точкой d в пропорции:
.
Соединив точку d с точкой О, получим ускорение точки D шатуна АВ. Например, если AD = 0,25 AB, то, отложив из точки а отрезок ad = 0,25 ab, получим на графике точку d. Значит, отрезок Оd в выбранном масштабе является ускорением точки D шатуна.