Введение в теорию погрешностей.

Численные методы относятся к основным методам решения задач математики и ее различных приложений. Они сводят процесс решения математических задач к некоторой конечной последовательности операций над числами и приводят к результатам, представленным в виде чисел, векторов, матриц , таблиц и т.п.

Основные этапы математического решения прикладных задач:

1. Построение математической модели.

2. Определение исходных данных.

3. Решение полученной математической задачи (МЗ).

Погрешности появляются уже на 1 этапе.

После того, как математическая модель построена и определены исходные данные, необходим выбор метода решения МЗ.

Математические методы делятся на:

1. аналитические;

2. численные (точные, приближенные);

3. графические.

Численный метод называется точным, если он дает возможность получать после конечного числа операций точное решение задачи.

Численные методы называется приближенными, если они приводят к приближенным результатам даже при точных исходных данных и точных вычислениях.

Возникают так называемые погрешности метода.

Основные источники погрешностей:

• замена реальной задачи математической моделью;

• затруднения в определении точных исходных данных;

• применение приближенных методов;

• арифметические действия над приближенными числами;

• вычисление значения функции;

• округление чисел;

• ограниченность разрядной сетки вычислительных устройств.

Основные понятия и правила, необходимые для оценки вычислительных погрешностей.

1. Расстояние (метрика).

Это понятие неразрывно связано с мерой близости между двумя какими-то объектами.

Это одно из понятий математического анализа.

Опр. Пусть Х – некоторое непустое множество. Функция :  х,у  Х  (х,у)  0, удовлетворяет условиям:

1. (х,у) = 0  х=у (аксиома тождества);

2. (х,у) = (у,х) (аксиома симметрии); (1)

3. (х,у)  (х,z) + (z,у) (аксиома треугольника)

называется расстоянием (или метрикой) на Х.

Множество Х с введенной метрикой  называется метрическим пространством (МП). На одном и том же множестве можно ввести понятие метрики разными способами. При этом получаются разные МП.

2. Абсолютная погрешность – основная характеристика точности вычислений.

Пусть А – точное значение величины,

а – приближенное к нему.

Обозначение: А  а.

Определение 1. Разность А-а (или а-А) называется погрешностью значения а.

Может быть как положительным, так и отрицательным числом, в случае векторов или функций будет вектором или функцией.

При определении исходных данных и в процессе вычисления часто удается расстояние между точными и приближенными значениями оценивать сверху некоторым неотрицательным числом.

Определение 2. Любое неотрицательное число _а :  (А-а)  _а называется абсолютной погрешностью приближенного значения а. (2)

Замечание. D_а устанавливает «верхний предел» для значений расстояния и сего помощью можно найти границы, в которых находится точное значение А.

Число D_а также называется оценкой погрешности (точности) значения а или приближенного равенства А  а.

Условие (2) можно записать: ½ А-а ½£ D_а.

Если а - приближенное число, ½ А-а ½£ D_а  а - D_а £ А £ а + D_а 

А Î  а - D_а; а + D_а .

Абсолютная погрешность определятся неоднозначно. На практике стараются в качестве D_а выбрать меньшее при данных обстоятельствах число.

Если о точном значении А ничего не известно, кроме границ:

а₁ £ А £а₂, то за приближенное число (берут середину отрезка). Тогда D_а=

Определение 3. Если известна абсолютная погрешность D_а приближенного значения а, то а называется приближением к А с точностью до D_а.

Когда говорят, что надо получить результат с заданной точностью   0, то это означает, что D_а £ .

Определение 4. Значащие цифры числа – все цифры десятичной записи числа, начиная с первой ненулевой слева. Нули в конце числа всегда считаются значащими, в противном случае их не пишут.

Пример: 0,05020, значащие 5, 0, 2, 0.

Правило. В записи абсолютной погрешности обычно оставляют только 1 или 2 значащие цифры, округление при этом всегда поощряется с избытком.

Пример: Число е=2,7182818…

Требуется оценить погрешность округления числа е до трех значащих цифр е  2,72.

(е; 2,72) = ½ е - 2,72½= 0,00171817…

Введем абсолютную погрешность D_2,72 = 0,0018 (с 2-мя значащими цифрами)

D_2,72 = 0,002 (с 1 значащей цифрой)

Абсолютная погрешность записывается в плавающей форме (с плавающей десятичной запятой) m  10^ (m – мантисса,  - порядок).

1.3. Основные понятия и правила записи приближенных чисел.

Правило округления чисел:

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие справа или заменяют нулями, если это нужно для сохранения разрядности. При этом:

1. если первая (слева) отбрасываемая цифра меньше 5, то все сохраняемые цифры остаются без изменения;

2. если первая отбрасываемая цифра больше, либо равна 5, но среди остальных отбрасываемых есть ненулевые, то к последней прибавляется 1;

3. если первая отбрасываемая цифра равна 5 и все остальные цифры равны 0, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная и увеличивается на 1 – если нечетная.

Определение 5. Верная значащая цифра определяется с помощью абсолютной погрешности. Если абсолютная погрешность D_а не превосходит половину единицы этого разряда, то она называется верной, т.е.

D_а £0,510^к (к – разряд, к = n, …, 1,0,-1, …-m); a = а_n…а₁, а₀, а_-1, а_-2…а_-m.

Все значащие цифры слева от верной - верные, справа – сомнительные.

Пример: есть приближенное число х = 72,356, D_х = 0,04.

Определить верные значащие цифры.

Проверка:

7: Разряд десяток 10/2 = 5 0,04  верная;

2: Разряд единиц ½ = 0,5 ³ 0,04 Þ верная;

3: 0,1/2 = 0,05 ³ 0,04 Þ верная;

5: 0,01/2 = 0,005  0,04 Þ сомнительная;

6: сомнительная.

Правило: Абсолютная погрешность округляется с избытком до одной значащей цифры (обозначается d). Если d  5, то все значащие цифры числа, а левее того разряда, где d, будут верными. В противном случае, последнюю (самую правую) из этих цифр следует признать сомнительной.

Пример.

Рассмотрим три числа:

а = 2,645 в = 0,81726 с = 3968

D_а = 0,003 D_в = 0,0052 D_с = 49

а: 3 Þ см. на 5; 3 £ 5 Þ верные 2,6,4;

в: D_в  0,006 Þ d = 7  5 Þ «портит» разряд сотых долей Þ верная 8;

с: верные 3,9.

Правило. За абсолютную погрешность числа с известными верными значащими цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра.

Замечание. Необходимо обращать внимание на значимость нулей, записанных в конце числа.

Примеры.

1. Известно, что все цифры чисел 3,2 и 3,20 верные. За абсолютную погрешность для 3,2 можно взять D_3,2 = 0,05, а D_3,20 = 0,005.

2. а = -17,2986 D_а = 0,002. Округлить а до верных цифр.

Решение: верные: 1,7,2,9 Þ а » -17,30 (но нельзя писать а » -17,3).

3. с = 3968 D_с = 49. Округлить с до верных цифр.

с » 4000 или с » 40  10² (верные цифры записываются в мантиссе).

В приближенных вычислениях иногда используют понятие верной значащей цифры в нестрогом (широком) смысле: если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда, где находится значащая цифра, то эта цифра называется верной в нестрогом (широком) смысле, т.е. D_а  1 10^к.

Пример: а = 5,6307 D_а = 0,006

5: 1  0,006  верная;

6: 0,1  0,006  верная;

3: 0,01 ³ 0,006 Þ верная;

0: 0,001  0,006 Þ сомнительная.

Если не оговаривается, то имеют в виду понятия верной цифры первого определения (т.е. строгом (узком) смысле).

Правило записи приближенных чисел:

В промежуточных результатах вычислений обычно сохраняются 1-2 сомнительные цифры, а окончательные результаты округляют с сохранением не более одной сомнительной цифры.

Правила записи знаков точного и приближенного равенств: «=» и «»».

1. Знак «»» применяется каждый раз, когда точное значение величины или выражения заменяется его приближенным значением.

Пример: cos 0,502 » 0,87662

» » 1,772

2. Если величина по определению неоднозначна, то между ней и ее значением, а также между ее различными значениями ставим знак «=», даже если имеются переходы к приближениям

3. При округлении всех чисел, за исключением значений неоднозначно определяемых величин, между ними и результатами их округления ставится знак «»».

1.4. Относительная погрешность приближенных чисел.

При приближенных измерениях вычислениях возникает потребность в характеристике качества проделанной работы.

Определение. Относительная погрешность приближенного числа а  0 называется неотрицательное число _а = .

Из определения следует D_а = а _а

Относительную погрешность (как и абсолютную) записывают с одной - двумя значащими цифрами и округляют при необходимости с избытком.

Часто относительная погрешность выражается в процентах:

_а =  100%.

Пример. Найдена масса одного предмета а = 510,4 кг с точностью до 0,1 кг и с такой же точностью в = 0,6 кг.

Хотя D_а = D_в = 0,1, первое измерение лучше, чем второе.

_а =  100% = = 0,0002 или 0,02%

_в =  100% = = 0,17 или 17%

1.5. Оценка влияния погрешностей аргументов на значения функции.

Пусть дана функция одной или нескольких переменных и вычисляется ее значение.

Возможны два случая:

1. Все аргументы функции являются точными числами;

2. Среди аргументов есть приближенные числа.

Тогда в 1 случае погрешность значения функции фактически зависит только от способов вычисления. Если применяется приближенная формула, надо знать оценку погрешности формулы.

Во 2 случае к погрешности метода вычисления добавляется погрешность, вызванная погрешностями аргументов. Возникает проблема оценки этой погрешности.

Методы решений нелинейных уравнений.

Пусть необходимо определить корень уравнения f(x)=0 (1). Если уравнение 1 удается делить аналитически, то нет смысла использовать численные методы. При использовании численных методов обычно удается определить приближенный корень с заранее заданной точностью ε. Число называют приближенным корнем уравнения 1 с заданной точностью ε, если число отличается от точного корня ξ (который невозможно определить) не более чем на заданную точность ε, или при выполнение неравенства (2).

Приближенные корни уравнения 1 отыскиваются в 2 этапа, а именно:

1. отделение корней;

2. уточнение корней.