Коментар до виконання контрольної роботи

Завдання №1a

З групи, яка складається з 15 хлопців і 5 дівчат, вибирають за жеребом делегацію з 4 чоловік. Яка ймовірність того, що серед вибраних буде 2 хлопці і 2 дівчини?

Розв’язання.

Загальне число всіх можливих випадків вибрати делегацію становить

Два хлопці з 15 можна вибрати способами, а дві дівчини з 5 можна вибрати способами. Всього сприятливих випадків буде тому шукана ймовірність

Відповідь: Р 0, 2167.

Завдання №1б

Коефіцієнти використання робочого часу двох комбайнів відповідно дорівнюють 0,8 і 0,6. Вважаючи, що зупинки у роботі кожного комбайна виникають випадково і незалежно один від другого, знайти відносний час: 1) роботи тільки одного комбайна; 2) роботи обох комбайнів.

Розв’язання. Позначимо:

подія А – коефіцієнт роботи першого комбайна;

подія В – коефіцієнт роботи другого комбайна;

подія - коефіцієнт зупинок першого комбайна;

подія - коефіцієнт зупинок другого комбайна.

Згідно з умовою задачі маємо:

Знайдемо ймовірність того, що працює тільки один комбайн:

Знайдемо ймовірність того, що працюють обидва комбайни:

Відповідь: 44%; 48%.

Завдання №1в

Баскетболіст попадає м’ячем у кошик з ймовірністю попадання p = 0,4. Що ймовірніше чекати: попадання трьох м’ячів при чотирьох кидках чи попадання чотирьох м’ячів при шести кидках?

Розв’язання.

Використаємо формулу Бернуллі: За умовою задачі р = 0,4; q = 0,6. Знайдемо:

Відповідь:

Завдання № 2а

Ймовірність появи події А в кожному з 625 випробувань дорівнює 0,64. Знайти ймовірність того, що подія А в цих випробуваннях з’явиться рівно 415 разів.

Розв’язання.

Використаємо локальну теорему Лапласа:

, де

За умовою Обчислимо значення х:

За таблицею значень функції дістаємо

Отже, шукана ймовірність

Відповідь:

Завдання № 2б

Процент проростання зерен жита дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з 500 посіяних зерен проростуть від 400 до 440 зерен.

Розв’язання.

Використаємо інтегральну формулу Лапласа:

, де

За умовою

Отже,

За таблицею значень функції знаходимо

Шукана ймовірність

Відповідь: Р = 0,0681.

Завдання № 2в.

Серед зерен пшениці 0,04% зерен бур’янів. Яка ймовірність при випадковому відборі 5000 зерен виявити 5 зерен бур’яну?

Розв’язання.

Використаємо формулу Пуассона:

, де

За умовою Тоді

Шукана ймовірність .

Відповідь:

Завдання № 3

Подія А в експерименті може відбуватися з ймовірністю 0,5. Експеримент проводиться 4 рази. Число появи події в експерименті є випадковою величиною. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - появи події А в чотирьох експериментах k разів

(k = 0, 1, 2,3,4). Побудувати багатокутник розподілу. Знайти числові характеристики.

Розв’язання.

Шуканий закон розподілу можна записати у вигляді таблиці

	Х	0	1	2	3	4
	Р

Невідомі ймовірності знаходимо за формулою Бернуллі. При р = 0,5 = , послідовно одержуємо:

Отже, шуканий закон розподілу має вигляд

	Х	0	1	2	3	4
	Р	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

Р

0,4

0,3

0,2

0,1

0

1 2 3 4 х

Знаходимо числові характеристики:

Завдання №4. Задано закон розподілу ВВХ:

	Х	0	1	2	3	4
	Р	0,15	0,1	0,35	0,1	0,3

Потрібно:

1. Знайти числові характеристики ВВХ.

2. Накреслити багатокутник розподілу ймовірностей і показати на ньому математичне сподівання, середнє квадратичне відхилення та моду.

3. Знайти аналітичний вираз для функції розподілу та побудувати її графік.

Розв’язання

1. Використовуючи відповідні формули, знаходимо:

2. Зробимо рисунок.

Р

0,4

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4 х

2. Аналітичний вираз функції розподілу має вигляд

Побудуємо графік функції розподілу.

F(x)

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 1 2 3 4 x

Задача № 5.

Неперервна випадкова величина Х задана інтегральною функцією

Потрібно знайти:

1. Щільність розподілу f(x).

2. M(X), D(X).

3. Ймовірність попадання ВВХ в інтервал

Побудувати графіки функцій F(x) і f(x).

Розв’язання

1. Перша похідна від функції розподілу F(x) дорівнює щільності розподілу, тому

2. Використовуючи відповідні формули, знаходимо:

3. Ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення, яке належить інтервалу , дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі, тобто

Побудуємо графіки функцій.

F(x) f(x)

1

0 3 х 0 3 х

Завдання № 6.

Математичне сподівання нормально розподіленої випадкової величини Х дорівнює 6, середнє квадратичне відхилення дорівнює 2. Потрібно:

1. Написати функцію щільності розподілу і побудувати її графік за характерними точками.

2. Знайти ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, яке належить інтервалу (4;12).

3. Знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини Х від математичного сподівання за абсолютною величиною менше 4.