- •Поліном Лагранжа
- •Завдання для самостійної роботи
- •Тема: Апроксимація функцій Теоретичні відомості Емпіричні формули
- •Визначення параметрів емпіричної залежності
- •Метод найменших квадратів
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Розв’язок
- •Метод Сімпсона
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №3
- •Теоретичні відомості Чисельне розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •Метод Гаусса
- •Метод Гаусса-Зейделя
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №4 Тема: Нелінійні рівняння Теоретичні відомості
- •Метод хорд
- •Метод Ньютона (метод дотичних)
- •Розв’язок
- •Комбінований метод хорд і дотичних
- •Метод ітерацій або метод послідовних наближень
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна рОбота №5 Тема: Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь Теоретичні відомості
- •Метод Ейлера
- •Модифікації методу Ейлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Завдання для самостійної роботи
- •Список літератури
Тема: Апроксимація функцій Теоретичні відомості Емпіричні формули
Нехай, вивчаючи невідому функціональну залежність між і , в результаті проведення експериментів було отримано ряд значень цих величин. Значення та записані у виді наступної таблиці:
|
|
… |
|
|
|
… |
|
Завдання полягає в тому, щоб знайти наближену залежність:
, |
(8) |
значення якої при ( ) мало відрізняються від спостережуваних даних . Наближена функціональна залежність (8), отримана за допомогою експериментальних даних, називається емпіричною формулою.
Простою емпіричною формулою є лінійна залежність виду:
. |
(9) |
Іншою простою емпіричною формулою є поліном другого ступеню:
. |
(10) |
Визначення параметрів емпіричної залежності
Вважатимемо, що тип емпіричної формули обрано і її можна представити у виді:
, |
(11) |
де – відома функція – невідомі постійні параметри. Тоді задача полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає найкраще наближення даної функції.
Тут не ставиться умова (як у випадку інтерполяції) збігу спостережуваних даних із значеннями емпіричної функції (11) у точках . Різницю між цими значеннями (відхилення) позначимо через . Тоді:
, . |
(12) |
Задача знаходження найкращих значень параметрів зводиться до мінімізації відхилень .
Існує декілька способів розв’язання цієї задачі. Один з них метод найменших квадратів.
Метод найменших квадратів
Запишемо суму квадратів відхилень (12) для всіх точок :
, . |
(13) |
Параметри емпіричної формули (11) знайдемо з умови мінімуму функції .
Оскільки тут параметри виступають в ролі незалежних змінних функції , то її мінімум знайдемо з необхідних умов екстремуму функції багатьох змінних, прирівнюючи нулю частинні похідні по цим змінним:
|
(14) |
Отримані співвідношення визначають систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення .
Розглянемо застосування методу найменших квадратів для широко використовуваного на практиці окремого випадку, коли функція є лінійною по невідомих параметрах :
, |
де – відомі функції . Формула (13) для визначення суми квадратів відхилень прийме вид:
. |
Для складання системи (14) знайдемо похідні по змінним ( ):
|
Прирівнюючи знайдені похідні нулю, отримаємо наступну систему рівнянь:
, . |
(15) |
Система (15) є системою лінійних алгебраїчних рівнянь, її можна записати в наочному векторно-матричному вигляді. Для цього введемо вектори точних даних і невідомих параметрів , а також матрицю наступним чином:
, , . |
Тут вектори і мають розмірності і відповідно, а матриця має розмірність ( ) ( ). Для елементів матриці справедливий вираз:
. |
Неважко переконатися, що вираз в квадратних дужках у (15), є -ю компонентою вектора , а кожне рівняння системи (15) є рівність нулю -ої компоненти вектора ( ), де – транспонована матриця. Таким чином, систему (15) можна записати у вигляді:
( )=0, |
або:
. |
(16) |
Матриця цієї системи має розмірність ( ) ( ), вектор і є шуканим.
Приклад.
Використовуючи метод найменших квадратів вивести емпіричну формулу для функції , яка задана в табличному виді (таблиця 1):
Таблиця 1
|
0,75 |
1,50 |
2,25 |
3,00 |
3,75 |
|
2,50 |
1,20 |
1,12 |
2,25 |
4,28 |