Метод Гаусса
Метод Гаусса застосовується для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1). У матричній формі ця система має вид (3).
Використовуємо той факт, що розв’язок системи не зміниться при виконанні кожної з наступних операцій:
а) перестановка двох рівнянь місцями;
б) множення одного з рівнянь на число, яке не дорівнює нулю;
в) віднімання одного рівняння, помноженого на деяке число, від іншого.
Якщо
,
поміняємо місцями перше рівняння з
таким
-м
рівнянням, що
.
Тепер коефіцієнт у першому рівнянні
при першій невідомій, відмінний від
нуля. Позначимо його через
і називатимемо ведучим
елементом першого
кроку. Розділимо перше рівняння на
ведучий елемент. Потім віднімемо його
від
-го
рівняння (k=2,
3 ..., п)
отриманої системи, заздалегідь помноживши
на
.
Після таких перетворень перший стовпчик коефіцієнтів рівнянь складатиметься з одиниці на першому місці і нулів на інших місцях.
Розглянемо
отримані рівняння з номерами 2 ..., п.
Вони утворюють систему
з (
)
рівняннями з (
)
невідомими. Виконаємо з цією системою
ті ж операції, що і з попередньою (другий
крок методу Гаусса).
Наступний
крок виконуємо для останніх (
)
рівнянь і так далі.
Якщо на кожному кроці вдається вибрати ведучий елемент, то після ряду перетворень система рівнянь набуває трикутного виду:
...........................................
|
(4) |
.
З
останнього рівняння можна отримати
значення невідомої
.
Інші
можна знайти, послідовно підставляючи
значення
у рівняння
,
потім значення
і
у рівняння з номером
та ін.
Але
краще продовжити обчислення за наступною
схемою (зворотний хід
методу Гаусса). Віднімемо
останнє рівняння системи (4),
помножене на
,
від k-го
рівняння (
).
Потім аналогічно виключимо невідому з перших ( ) рівнянь.
Після ряду перетворень система (4) буде зведена до виду:
|
Розглянемо
випадок, коли на черговому кроці не
вдається вибрати ведучий елемент. Це
відбудеться в тому випадку, коли на
черговому r-му
кроці всі коефіцієнти при невідомій
у рівняннях r,
r+1, ...,
п виявляться рівними
нулю, що є наслідком лінійної залежності
рядків вихідної матриці А.
У цьому випадку можна умовно вважати
ведучий елемент
нульовим і продовжити зведення рівнянь
до трикутного вигляду. Отримані рівняння
будуть відрізнятися від рівнянь (4)
тим, що в деяких місцях на діагоналі
будуть стояти коефіцієнти, які дорівнюють
нулю, а не одиниці. Відзначимо, що в цьому
випадку рівняння (1)
або не мають розв'язків, або мають
нескінченну множину розв'язків.
Розглянемо застосування методу Гаусса для системи із трьох рівнянь з трьома невідомими:
|
(5) |
Для виключення
з другого рівняння додамо до нього
перше, помножене на
.
Потім, помноживши перше рівняння на
і додавши результат до третього рівняння,
також виключимо з нього
.
Отримаємо рівносильну (5) систему рівнянь
виду:
|
(6) |
,
(
);
,
(
).
Тепер з третього
рівняння системи (6) потрібно виключити
.
Для цього помножимо друге рівняння на
і додамо результат до третього. Отримаємо:
|
(7) |
;
.Матриця системи (7) має трикутний вигляд. На цьому закінчується прямий хід методу Гауса.
Відмітимо,
що в процесі виключення невідомих
доводиться виконувати операції ділення
на коефіцієнти
і так далі. Тому вони повинні бути
відмінні від нуля. Інакше необхідно
відповідним чином переставити рівняння
системи. Перестановка рівнянь повинна
бути передбачена в обчислювальному
алгоритмі при його реалізації на
комп'ютері.
Зворотний хід починається з вирішення третього рівняння системи (7):
|
.
Використовуючи
це значення, можна знайти
з другого рівняння, а потім
з першого:
|
,
.Аналогічно будується обчислювальний алгоритм для лінійної системи з довільним числом рівнянь.
Метод Гаусса відносять до класу точних (прямих) методів, але не завжди цей метод дозволяє отримати точний розв’язок. На практиці коефіцієнти при невідомих можуть бути результатом експерименту, тому бути наближеними числами. Дії над наближеними числами виконуються з округленням. В результаті розв’язок системи буде також наближеним.