РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО ДИНАМИКЕ

Определение законов движения звеньев плоского механизма.

ВАРИАНТ № 21

СТУДЕНТ ГР. 71МП1Б

Симагин П.А.

ПРОВЕРИЛ: доцент ПЕТРОВ В.А.

СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Исходными величинами задания являются:

1) кинематическая схема механизма;

2) необходимые геометрические размеры;

3) массовые характеристики всех твердых тел, входящих в систему;

4) величины и направления активных сил, приложенных к звеньям механизма;

5) начальные условия, определяющие положения тел и скорости их точек в начальный момент времени.

В результате расчетов должны быть найдены:

1) законы движения всех тел, принадлежащих данной механической системе (по четырем указанным ниже методам);

2) внутренние и внешние реакции связей (по методу кинетостатики);

3) вес одного из тел, определяемый условиями равновесия системы (с помощью принципа возможных перемещений).

Порядок расчета

Механизм состоит из четырех твердых тел, связанных между собой нерастяжимыми нитями, которые не скользят относительно блоков. При решении надо учесть, что колесо А катится по наклонной плоскости без скольжения, а тело В скользит по шероховатой наклонной плоскости. Подвижный блок С и колесо А – считать сплошными однородными дисками.

Рис.1 Кинематическая схема механизма.

В качестве исходных величин задаются:

- необходимые геометрические размеры ;

- веса звеньев механизма P_A, P₀, P_C, P_B;

- радиус инерции ;

- коэффициент трения скольжения тела В по наклонной поверхности .

- начальная скорость центра колеса А .

1. Кинематические связи.

Для описания каждого звена механизма введем координаты , определяющие положение системы в любой момент времени (см. рис.1). Этими координатами мы будем пользоваться во всех пунктах расчета. Так как нити считаются нерастяжимыми и не скользят относительно блоков, то скорости характерных точек звеньев механизма 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8 попарно равны:

(1)

Учитывая, что в точке Д находится мгновенный центр скоростей колеса А, имеем

. (2)

Выразим все характерные скорости через скорость центра колеса А, тогда

(3)

Эти величины внесем в таблицу (см. 2-ю графу). Дифференцируя (3), найдем соотношения между ускоре­ниями (см.3-ю графу таблицы).

Проинтегрировав (3), получим кинематические соотношения между самими координатами (см. 1-ю графу таблицы), причем постоянные интегрирования будут равны нулю, так как начальным положением звеньев приписаны нулевые значения координат.

Из полученных уравнений кинематических связей (см. таблицу) видно, что данный механизм обладает одной степенью свободы (шесть координат связаны пятью соотношениями, следовательно, независимой может быть только одна координата).

2. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения

Устранив все внутренние связи между звеньями данного механизма и заменив их соответствующими реакциями, составим силовые схемы и запишем дифференциальные уравнения движения для каждого звена.

Колесо А движется плоскопараллельно (рис.2). Уравнение прямолинейного движения для центра масс и уравнение вращатель­ного движения около центра А:

(4)

Рис. 2 Силовая схема тела А.

(5)

Нужно иметь в виду, что сила трения не может быть найдена с помощью закона Кулона, так как проскальзывания колеса А по наклонной плоскости не происходит (в точке Д находится мгновенный центр скоростей).

Рис.3. Силовая схема блока О.

Неподвижный блок 0 вращается вокруг неподвижной оси (рис.3). Дифференциальное уравнение вращательного движения

. (6)

Рис.4. Силовая схема тела С.

Подвижный блок С движется плоскопараллельно (рис.4). Дифференциальное уравнение вертикального движения его центра масс и дифференциальное уравнение вращательного движения около центра масс:

; (7)

. (8)

Тело В движется поступательно (рис.5). Дифференциальное уравне­ние движения вдоль оси х_В:

. (9)

Сила трения скольжения , приложенная к телу В, может быть определена на основании закона Кулона:

и должна рассматриваться как активная сила. Составляя уравнение равновесия для тела В в проекции на перпендикуляр к наклонной плоскости, имеем , следовательно: . Под­ставляя выражение для силы трения в уравнение (9), найдем

. (10)

Рис.5. Силовая схема тела В.

Дополняя уравнения (4) - (8) и (10) уравнениями кинематических связей (см.3-ю графу таблицы), получим систему уравнений, в которой число неизвестных равно числу уравнений

(11) Система (11) является алгебраической системой уравнений относительно неизвестных . Решая эту систему путем соответствующих подстановок, в первую очередь найден ускорение центра колеса А:

(12)

Таким образом, - постоянная величина, которую дальше будем считать известной. Интегрируя выражение (12) и определяя постоянные интегрирования из заданных начальных условий t = 0:

находим закон движения центра колеса А :

(13)

Законы изменения остальных координат как функций времени оп­ределим с помощью кинематических соотношений (см. таблицу):

Этим завершается решение с помощью дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения.