10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області

Приведемо властивості функцій, неперервних в обмеженій замкнутій області (вони аналогічні властивостям неперервних на відрізку функцій однієї змінної – див. п. 19.5). Заздалегідь уточнимо поняття області.

Областю називається множина точок площини, що володіють властивостями відкритості і зв'язності.

Властивість відкритості: кожна точка належить їй разом з деяким околом цієї точки.

Властивість зв'язності: будь-які дві точки області можна з'єднати неперервною лінією, що цілком лежить в цій області.

Точка називається межовою точкою області , якщо в будь-якому околі її лежать як точки цієї області так і точки що їй не належать.

Сукупність межових точок області називається межею .

Область з приєднаною до неї межею називається замкнутою областю.

Область називається обмеженою, якщо всі її точки належать деякому кругу радіуса . Інакше область називається необмеженою. Прикладом необмеженої області може служити множина точок першого координатного кута, а прикладом обмеженої – окіл точки .

Теорема 10.1. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області, то вона в цій області:

а) обмежена, тобто існує таке число , що для всіх точок в цій області виконується нерівність ;

б) має точки, в яких приймає найменше і найбільше значення;

в) приймає хоча б в одній точці області будь-яке чисельне значення, розміщене між і .

Теорема дається без доведення.

10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних

10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст

Нечай задана функція . Оскільки і – незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежній змінній приріст , зберігаючи значення незмінним. Тоді отримає приріст, який називається частинним приростом по і позначається . Отже Аналогічно одержуємо частинний приріст по :

Повний приріст функції визначається рівністю

Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною функції в точці по змінній і позначається одним із символів:

Частинні похідні по в точці звичайно позначають символами

Аналогічно визначається і позначається частинна похідна від по змінні :

Таким чином, частинна похідна функції декількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови постійності значень решти незалежних змінних. Тому частинні похідні функції знаходять по формулах і правилах обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно або вважається сталою величиною).

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції





Геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних

Г рафіком функції є деяка поверхня (див. п. 12.1). Графіком функції є перетин цієї поверхні з площиною . Виходячи з геометричного змісту похідної для функції однієї змінної (див. п. 20.2), заключаємо, що , де - кут між віссю і дотичною, проведеною до кривої в точці (див. рис. 3). Аналогічно .

Рис.3