- •Функції багатьох змінних
- •Тема 10.1. Функції двох змінних.
- •Тема 10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних.
- •Тема 10.3. Дотична площина і нормаль до поверхні.
- •Тема 10.4. Екстремум функції двох змінних.
- •10.4.1. Основні поняття.
- •10.1. Функції двох змінних
- •10.1.1. Основні поняття
- •10.1.2. Границя функції
- •10.1.3. Неперервність функції двох змінних
- •10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області
- •10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних
- •10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст
- •Геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних
- •10.2.2. Частинні похідні вищих порядків
- •10.2.3. Диференційовність і повний диференціал функції.
- •10.2.4. Застосування повного диференціала для наближених обчислень
- •10.2.5. Диференціали вищих порядків
- •10.2.6. Похідна складної функції. Повна похідна
- •10.2.7. Інваріантність форми повного диференціала
- •10.2.8. Диференціювання неявної функції
- •10.3. Дотична площина і нормаль до поверхні
- •10.4. Екстремум функції двох змінних
- •10.4.1. Основні поняття
- •10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму
- •10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області
10.4. Екстремум функції двох змінних
10.4.1. Основні поняття
Поняття максимуму, мінімуму, екстремуму функції двох змінних аналогічні відповідним поняттям функції однієї незалежної змінної (див. п. 25.4).
Нехай функція визначена в деякій області , точка
Точка називається точкою максимуму функції якщо існує такий – окіл точки, що для кожної точки , відмінної від , з цього околу виконується нерівність .
Аналогічно визначається точка мінімуму функції: для всіх точок ,відмінних від ,із – околу точки виконується нерівність: .
На рисунку 5: – точка максимуму, – точка мінімуму функції .
З начення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції називають її екстремумами.
Відзначимо, що, за означенням, точка екстремуму функції лежить всередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції в точці порівнюється з її значеннями в точках достатньо близьких до . В області функція може мати декілька екстремумів або не мати жодного.
Рис. 5
10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму
Розглянемо умови існування екстремуму функції.
Теорема 10.4.1. (необхідні умови екстремуму). Якщо в точці диференційовна функція має екстремум, то її частинні похідні в цій точці рівні нулю: , .
Зафіксуємо одну із змінних. Покладемо, наприклад . Тоді отримаємо функцію однієї змінної, яка має екстремум при . Отже, згідно необхідній умові екстремуму функції однієї змінної (див. п. 25.4), , тобто .
Аналогічно можна показати, що .
Геометрично рівності і означають, що в точці екстремуму функції дотична площина до поверхні, що зображає функцію , паралельна площині , так як рівняння дотичної площини (див. формулу (3.2)).
Зауваження. Функція може мати екстремум в точках, де хоча б одна з частинних похідних не існує.
Наприклад, функція має максимум в точці (див. рис. 6), але не має в цій точці частинних похідних.
Точка, в якій частинні похідні порядку функції рівні нулю, тобто, , , називається стаціонарною точкою функції .
Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна частинна похідна не існує, називаються критичними точками. Рис.6
В критичних точках функція може мати екстремум, а може і не мати. Рівність нулю частинних похідних є необхідною, але не достатньою умовою існування екстремуму. Розглянемо, наприклад, функцію . Для неї точка є критичною (в ній і перетворюються в нуль). Проте екстремуму, в ній функція не має, так як в достатньо малому околі точки знайдуться точки для яких (точки І і III четвертей) і (точки II і IV четвертей).
Таким чином, для знаходження екстремумів функції в даній області необхідно кожну критичну точку функції піддати додатковому дослідженню.
Теорема 10.4.2. (достатня умова екстремуму). Нехай в стаціонарній точці деякого її околу функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Обчислимо в точці значення ,
Позначимо
Тоді:
1. якщо , то функція в точці має екстремум:
максимум, якщо ;
мінімум, якщо ;
2. якщо , то функція в точці екстремуму не має.
У випадку екстремум в точці може бути, може не бути. Необхідні додаткові дослідження.
Приймемо без доведення.
Приклад 1. Знайти екстремум функції .
Тут Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.
Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:
Звідси одержуємо точки і
Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції:
В точці маємо: , звідси тобто
Оскільки , то в точці функція має локальний максимум
В точці : і, значить . Проведемо додаткове дослідження. Значення функції в точці рівне нулю: . Можна помітити, що при , при , . Значить, в околі точки функція приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці функція екстремуму не має.