1.3. Исходные данные и результаты задачи оценивания

Для решения задачи оценивания неизвестных параметров сигнала по его измерениям в общем случае необходимы следующие исходные данные:

1) исходная измерительная информация: - последовательность измерений;

2) исходные данные о модели сигнала:

- n – количество параметров модели сигнала, используемое при моделировании измерений;

- h_k(Х) или h_kХ - функция, характеризующая зависимость полезного сигнала от времени t_k и от вектора неизвестных параметров Х;

- t₀ – время начала сеанса измерений;

- t_N – время окончания сеанса измерений;

- ² (или ) - дисперсия (или среднеквадратичное отклонение (СКО)) ошибок измерений;

- - начальная оценка вектора неизвестных параметров - требуется только в нелинейном случае;

3) параметры алгоритма:

- n_м – количество параметров модели сигнала, используемое в алгоритме обработки;

- с - параметр, определяющий начальное значение ковариационной матрицы Р₀  - требуется в линейном случае (с >> 1); в нелинейном случае с не параметр алгоритма, а элемент исходных данных;

- q - параметр "демпфирующей" матрицы  Q_k-1.

В процессе решения задачи оценивания после обработки каждого k-го (k = 1, 2, …, N) измерения z_k необходимо получать:

1) - оценку вектора неизвестных параметров сигнала;

2) Р_k - теоретическую ковариационную матрицу (ее оценку в нелинейном случае) оценки.

1.4. Задания

Исследовать работу рекуррентных процедур МНК для случаев линейной и нелинейной моделей. В качестве сигналов с линейными моделями используются полиномиальный сигнал вида

(1.14)

и гармонический сигнал

(1.15)

В качестве сигнала с нелинейной моделью используется синусоидальный сигнал вида

h_k(X) = x₁ + x₂ sin(x₃t_k). (1.16)

Моменты времени t_k cчитаются равноотстоящими, т. е. t_k = t₀ + k, где  - период поступления измерений, постоянная величина для одного сеанса измерений. Количество измерений в каждом эксперименте величина постоянная, период  определяется по заданным значениям t₀ и t_N.

При проведении машинного эксперимента исходными данными для каждого отдельного задания являются:

1) вид модели сигнала;

2) n - количество неизвестных параметров;

3) n_м – количество параметров модели сигнала, используемое в алгоритме обработки;

4) X = [x₁ x₂ ... x_n]^T - значение параметров имитируемого сигнала;

5) t₀ - начальный момент времени;

6)  t_N - конечный момент времени;

7) - среднеквадратичное отклонение ошибок измерений;

8) с - параметр, определяющий матрицу Р₀;

9) q - параметр "демпфирующей" матрицы  ;

10) - начальная оценка вектора параметров для нелинейной модели сигнала.

В качестве результатов машинного эксперимента после обработки каждого измерения z_k выводятся значения фактических ошибок оценок отдельных компонент вектора параметров сигнала и теоретические (расчетные) СКО ошибок соответствующих оценок  , где P_k(i, i) - i-й диагональный элемент ковариационной матрицы P_k. Работу алгоритма оценивания следует считать устойчивой, если выбросы ошибок оценок параметров сигнала величиной  > 3_k(i) встречаются в течение сеанса измерений сравнительно редко. Для анализа результатов каждого эксперимента в целом используются интегральные характеристики: остаточный средний квадрат невязки измерения

или средний квадрат ошибки значений сигнала

Эти интегральные характеристики используются для сравнения качества работы алгоритмов при различных значениях параметров этих алгоритмов.

Исследование рекуррентных процедур оценивания параметров сигналов выполняется в рамках следующих заданий.

Задание 1.

Исследовать работу рекуррентного алгоритма МНК для полиномиального сигнала:

а) исследовать влияние выбора параметра с (определяющего матрицу Р₀ = cI) на качество оценивания вектора Х; при этом с необходимо изменять в весьма широких пределах. Сравнение качества алгоритма при различных значениях параметра проводить по значению функционалов J₁ или J₂ . Для значения с, характеризующегося минимальным значением J, проанализировать ход оценивания младшего и старшего коэффициентов полиномиального сигнала, используя для этого зависимости от k ошибок оценок e_k(i) и их расчетных СКО _k(i);

б) исследовать влияние точности измерений на качество оценивания. Для этого исследования п. а провести с другим значением .

в) исследовать случай неадекватности модели реальному сигналу, когда реальный сигнал содержит на один параметр больше, чем используемая в алгоритме модель сигнала. Исследовать эффективность введения демпфирующего параметра для обеспечения устойчивой работы алгоритма.

г) исследовать влияние момента времени t₀  начала сеанса измерений на качество оценивания параметров сигнала. Исследовать возможность повышения устойчивости алгоритма за счет введения ненулевого значения демпфирующего параметра;

д) исследовать влияние длительности сеанса измерений t_N - t₀ (влияние периода измерения при фиксированном числе измерений N) на качество оценивания параметров. Исследовать возможность повышения устойчивости к ошибкам округления за счет введения демпфирующего параметра.

Задание 2.

Исследовать работу рекуррентного алгоритма МНК для гармонического сигнала. Для этого провести эксперименты по 1а – 1в.

Задание 3.

Исследовать работу рекуррентного линеаризованного алгоритма МНК для синусоидального сигнала с неизвестными частотой, амплитудой и постоянной составляющей:

а) найти область изменения ошибки начальной оценки частоты, при которой наблюдается сходимость оценок параметров к их истинным значениям;

б) исследовать возможность расширения области изменения ошибки начальной оценки частоты, обеспечивающей сходимость оценок, за счет введения в алгоритм демпфирующего параметра.