Лабораторная работа №1 (3 отчета) / laba1-2+
.docМинистерство Науки и Образования Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
Кафедра МОЭВМ
Отчет
по лабораторной работе №1
«РЕКУРРЕНТНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ»
Вариант 4.
Выполнил: Группа: 3351
Факультет КТИ.
Проверил: Смирнов Н.А.
Санкт-Петербург.
2006г.
Цель работы: Исследовать работу рекуррентных процедур МНК для случаев линейной и нелинейной моделей. Рассмотреть влияние различных коэффициентов на результаты эксперимента.
Исходные данные:
X1=9
X2=0.9
X3=0.09
X4=0.009
X5=0.0009
X6=0.00009
T0=0
Tn=10
δ=0.1
Q=0
C = 1, 100, 1.000, 2.000, 8.000, 10.000
Задание 1. Исследовать работу рекуррентного алгоритма МНК для полиномиального сигнала.
а) исследовать влияние выбора параметра с (определяющего матрицу Р0 = cI) на качество оценивания вектора Х; при этом с необходимо изменять в весьма широких пределах. Сравнение качества алгоритма при различных значениях параметра проводить по значению функционалов J1 или J2 . Для значения с, характеризующегося минимальным значением J, проанализировать ход оценивания младшего и старшего коэффициентов полиномиального сигнала, используя для этого зависимости от k ошибок оценок ek(i) и их расчетных СКО k(i);
В ходе выполнения работы получаем следующие данные:
Шаг расчета 0,128205
|
C |
J1 Остаточный средний квадрат невязки измерений |
J2 Средний квадрат ошибки значений сигнала |
|
1 |
0,00851564 |
0,000597545 |
|
100 |
0,00848527 |
0,000422793 |
|
1.000 |
0,00848523 |
0,00041931 |
|
2.000 |
0,0084852 |
0,000420814 |
|
8.000 |
0,00848524 |
0,000421947 |
|
10.000 |
0,00848539 |
0,000429715 |
|
С=100, δ =0,1 |
С=10000 δ =0.1 |
|
|
|
|
Фактические ошибки оценок коэффициентов при старшей степени не надо |
|
|
|
|
|
СКО оценок коэффициентов при старшей степени не надо |
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
|
|
|
|
|
Фактических ошибок оценок свободного члена не надо |
|
|
|
|
|
СКО оценок свободного члена не надо |
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
|
По полученным результатам можно сделать вывод, что наилучший результат получаем при С=2000. J1 и J2 убывают при изменении C от 1 до 2000 и увеличиваются при изменении С от 2000 до 10000. Необходимо обратить внимание, что изменение С в разы не сильно влияет на J1 и J2. При изменении С от 1 до 10000 J1 и J2 менялся 8ой порядок при J1 и на 5ый порядок при J2
б) исследовать влияние точности измерений на качество оценивания. Для этого исследования п. а провести с другим значением дисперсии ошибок измерения: =2,5. С=2000.
|
|
J1 Остаточный средний квадрат невязки измерений |
J2 Средний квадрат ошибки значений сигнала |
|
0,1 |
0,00860504 |
0,000419684 |
|
2,5 |
5,37719 |
0,272117 |
Наглядно видно, что точность измерений сильно влияет на результаты эксперимента, ухудшая его точность. Изменение погрешности в 25 раз увеличило J1 в 624 раза, а J2 в 648 раза.
|
=2.5 |
=0.1 |
|
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
||
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
||
в) исследовать случай неадекватности модели реальному сигналу, когда реальный сигнал содержит на один параметр больше, чем используемая в алгоритме модель сигнала. Исследовать эффективность введения демпфирующего параметра для обеспечения устойчивой работы алгоритма.
Исходные данные:
|
C |
J1 |
J1 при NRAP=5 |
J2 |
J2 при NRAP=5 |
|
2.000 |
0,0086051 |
0,011893 |
0,000419582 |
0,00329173 |
|
NRAP=5 |
NRAP=6 |
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
|
Оценим эффективность введения демпфирующего параметра, при С = 2000 и NRAP=5, которое наиболее точно приближает получаемое значение к реальному.
|
NRAP=5, Q=0 |
Q=0.001 |
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
|
|
Q |
J1 |
J2 |
|
0 |
0,011893 |
0,00329173 |
|
0,0005 |
0,571875 |
0,506612 |
|
0.001 |
0,202935 |
0,1827 |
|
0,0015 |
1,08551 |
1,01019 |
|
0.01 |
31,1495 |
28,8439 |
|
0.5 |
158,489 |
146,073 |
Вывод: Уменьшение числа параметром до 5 приводит к ухудшению качества оценивания, система начинает расходиться. При введении в эту систему демпфирующего коэффициента, наилучшие показатели получаем при Q=0.01. Следовательно, применение демпфирующего параметра для линейной модели привело к некоторому улучшению результата.
|
T0 |
Tn |
J1 |
J2 |
|
0 |
5 |
0,0086068 |
0,00039543 |
|
0,1 |
10,1 |
0,00861406 |
0,000394512 |
|
0,2 |
10,2 |
0,00861027 |
0,000439906 |
|
0,3 |
10,3 |
0,00908327 |
0,000496491 |
|
0,4 |
10,4 |
0,00864965 |
0,000540179 |
|
0,5 |
10,5 |
Матрица P не является положительно определенной |
|
|
Q |
T0 |
Tn |
J1 |
J2 |
|
0,0001 |
0,5 |
10,5 |
27,3274 |
25,1205 |
|
0,001 |
0,5 |
10,5 |
269,228 |
248,204 |
|
0,1 |
0,5 |
10,5 |
54426,7 |
50244,4 |
|
1 |
0,5 |
10,5 |
59383,7 |
54811,3 |
|
T0 =0,5, Tn=10,5 Q=0.0001 |
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
|
T0 =0, Tn=10 |
T0 =0,5, Tn=10,5 |
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
|
Следовательно, изменение начала эксперимента несколько ухудшает результаты. Введение демпфирующего коэффициента может улучшить показатели результата.
д)
исследовать влияние длительности
сеанса измерений tN
-
t0
(влияние
периода измерения
при фиксированном числе измерений N)
на качество оценивания параметров.
Исследовать возможность повышения
устойчивости к ошибкам округления за
счет введения демпфирующего параметра.
|
T0 |
J1 |
J2 |
|
0 |
0.300447 |
0.266276 |
|
1 |
0.185739 |
0.160325 |
|
2 |
0.108167 |
0.0890131 |
|
3 |
0.0639398 |
0.0493723 |
|
5 |
Матрица P не является положительно определенной |
|
|
Q |
T0 |
J1 |
J2 |
|
0.01 |
5 |
0.10479 |
0.0853861 |
|
5 |
5 |
3.81931 |
3.55133 |
|
10 |
5 |
3.55417 |
3.30359 |
|
T0 =5, Tn=10 Q=0.01 |
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
Вывод: При сокращении длительности интервала (от 10 до 5) интегральные характеристики улучшаются. Введение демпфирующего коэффициента может улучшить показатели результатов эксперимента.
Задание 2. Исследовать работу рекуррентного алгоритма МНК для гармонического сигнала.
Необходимо провести эксперименты по 1а – 1в.
а) исследовать влияние выбора параметра с (определяющего матрицу Р0 = cI) на качество оценивания вектора Х; при этом с необходимо изменять в весьма широких пределах. Сравнение качества алгоритма при различных значениях параметра проводить по значению функционалов J1 или J2 . Для значения с, характеризующегося минимальным значением J, проанализировать ход оценивания младшего и старшего коэффициентов полиномиального сигнала, используя для этого зависимости от k ошибок оценок ek(i) и их расчетных СКО k(i);
В ходе выполнения работы получаем следующие данные:
Шаг расчета 0,128205
|
C |
J1 Остаточный средний квадрат невязки измерений |
J2 Средний квадрат ошибки значений сигнала |
|
1 |
0,00856656 |
0,000449543 |
|
100 |
0,00856349 |
0,000456696 |
|
1.000 |
0,00856357 |
0,000448953 |
|
2.000 |
0,0085638 |
0,000471182 |
|
8.000 |
0,00856612 |
0,000438702 |
|
10.000 |
0,00857673 |
0,000553 |
б) исследовать влияние точности измерений на качество оценивания. Для этого исследования п. а провести с другим значением дисперсии ошибок измерения =2,5. С возьмем равное С=1000.
|
C |
J1 Остаточный средний квадрат невязки измерений |
J2 Средний квадрат ошибки значений сигнала |
|
10000 |
5,35219 |
0,285492 |
|
С=1000, =2.5 |
С=1000 =0.1 |
|
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
||
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
||
в) исследовать случай неадекватности модели реальному сигналу, когда реальный сигнал содержит на один параметр больше, чем используемая в алгоритме модель сигнала. Исследовать эффективность введения демпфирующего параметра для обеспечения устойчивой работы алгоритма.
|
C |
J1 |
J1 при NRAP=5 |
J2 |
J2 при NRAP=5 |
|
1 |
0,00856656 |
0,00859175 |
0,000449543 |
0,00427009 |
|
100 |
0,00856349 |
0,00858868 |
0,000456696 |
0,000434597 |
|
1.000 |
0,00856357 |
0,00858882 |
0,000448953 |
0,000443366 |
|
2.000 |
0,0085638 |
0,0085887 |
0,000471182 |
0,000436306 |
|
8.000 |
0,00856612 |
0,00858937 |
0,000438702 |
0,000452077 |
|
10.000 |
0,00857673 |
0,00859077 |
0,000553 |
0,000424918 |
Как видим из таблицы, изменение наблюдаемого количества параметров ведет к ухудшению результата.
Оценим введение демпфирующего параметра: при С = 100
|
Q |
J1 |
J2 |
|
0.0001 |
0,00859057 |
0,000448473 |
|
0.001 |
0,00869337 |
0,0006361 |
|
0.01 |
0,00957697 |
0,00168975 |
|
0.5 |
0,0114773 |
0,00346406 |
|
1 |
0,0115479 |
0,00351399 |
|
5 |
0,0115812 |
0,00352173 |
|
10 |
0,0116026 |
0,00354169 |
Постоим разваливающуюся систему и соберем ее с помощью демпфирующего коэффициента:
|
С=100, Q=0 |
С=100 Q=0.0001 |
|
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки коэффициентов при старшей степени |
||
|
|
|
|
|
Совмещенные теоретические и фактические ошибки свободного члена |
||
Вывод: Применение демпфирующего параметра для линейной модели привело к ухудшению результата. Для расходящейся системы введение демпфирующего коэффициента приводит к улучшению результатов эксперимента.
Задание 3. Исследовать работу рекуррентного линеаризованного алгоритма МНК для синусоидального сигнала с неизвестными частотой, амплитудой и постоянной составляющей.
а) найти область изменения ошибки начальной оценки частоты, при которой наблюдается сходимость оценок параметров к их истинным значениям;
|
C |
J1 |
J2 |
|
1 |
0,494467 |
0,0425232 |
|
100 |
0,0494467 |
0,0425225 |
|
1000 |
0,0494467 |
0,0425229 |
|
2000 |
0,0494467 |
0,0425236 |
|
8000 |
0,0494468 |
0,0425202 |
|
10000 |
0,0494468 |
0,0425247 |
При C=8000
|
X30 |
J1 |
J2 |
|
0.0001 |
0,00851593 |
0,00132871 |
|
0.1 |
0,333952 |
0,324963 |
|
1 |
0,117136 |
0,107224 |
|
2 |
0,0426837 |
0,0318826 |
|
3 |
0,0240965 |
0,0138524 |
|
4 |
0,014409 |
0,00457069 |
|
5 |
0,0316345 |
0,021557 |
|
6 |
0,0747629 |
0,0723203 |
|
7 |
0,049884 |
0,042099 |
|
9 |
0,049534 |
0,0428209 |
|
10 |
0,0890176 |
0,0768125 |
|
20 |
0,494501 |
0,0424877 |
|
50 |
0,113088 |
0,103295 |
|
100 |
0,0430053 |
0,0321862 |
|
1000 |
0,0494441 |
0,0424796 |
|
10000 |
0,0440464 |
0,032319 |