5.Точки розриву функції. Класифікація.
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв. Классификация точек разрыва функции
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
Существуют
левосторонний предел 
и
правосторонний предел 
;
Эти односторонние пределы конечны.
При этом возможно следующие два случая:
Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:
Такая
точка называется точкой конечного
разрыва. Модуль разности значений
односторонних пределов
называется скачком
функции.
Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
ПРИМЕР
Исследовать
функцию 
на
непрерывность.
Решение.
Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.
6.Первый замечательный предел
Первым замечательным пределом называется предел 
Первый замечательный предел равен 
Доказательство . Рассмотрим
два односторонних предела 
и 
и
докажем, что каждый из них равен 1. Тогда
по теореме 2.1 двусторонний предел 
также
будет равняться 1. Итак, пусть
(этот
интервал -- одно из окончаний базы 
).
Суть решения таких заданий проста:
формально подогнать условие под
вид первого замечательного предела ,
после чего использовать формулу 
.
7. Второй замечательный предел
или 
Доказательство второго замечательного предела :
Доказательство
для натуральных значений x Зная,
что второй замечательный предел верен
для натуральных значений x,
докажем второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что 
.
Рассмотрим два случая:
1.
Пусть 
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами: 
,
где 
—
это целая часть x.
Отсюда
следует: 
,
поэтому
.
Если
,
то 
.
Поэтому, согласно пределу 
,
имеем:
.
По
признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов 
.
2.
Пусть 
.
Сделаем подстановку − x = t,
тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
для 
, 
8.Порівняння нескінченно малих. Властивості еквівалентних нескінченно малих.
Ділення
двох нескінченно малих або
двох нескінченно великих
величин не визначено тому, що їх відношення
може бути нескінченно малою або нескінченно великою
або постійною величиною.Дійсно, нехай
α — нескінченно мала величина,
тоді β = а2 , у = Зα ,
також нескінченно малі величини.Маємо:
- нескінченно мала величина;
- нескінченно велика
величина;
-
постійна величина.Використовуючи
(ділення, можна
порівнювати нескінченно малі та нескінченно великі
величини.
Свойства эквивалентных бесконечно малых
1) a ~ a, 
2)
Если a ~ b и b ~ g,
то a ~ g, 
3)
Если a ~ b,
то b ~ a, 
4)
Если a ~ a1 и b ~ b1 и 
,
то и 
или 
.
Следствие:
а) если a ~ a1 и
,
то и 
б)
если b ~ b1 и
,
то 
Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.