- •Глава 10. Матрицы и определители § 10.1. Матрицы и линейные операции над ними
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •§ 10.2. Умножение матриц
- •Пример 10.2. Заданы матрицы:
- •Выяснить, какие из произведений , , , , или существуют, и найти эти произведения.
- •Свойства произведения матриц.
- •§ 10.3. Транспонирование матриц
Глава 10. Матрицы и определители § 10.1. Матрицы и линейные операции над ними
Основные определения. Матрицей размеров называется таблица, имеющая строк и столбцов и состоящая из действительных или комплексных чисел.
Матрицу сокращенно обозначают одной большой буквой латинского алфавита, например . Если нужно указать размеры матрицы, то их можно записать в качестве индекса: . Элементы матрицы, как правило, обозначаются той же буквой латинского алфавита, что и сама матрица, но малой, и снабжаются двумя нижними индексами, первый из которых обозначает номер строки, а второй – номер столбца. Так, обозначает элемент матрицы , расположенный в -й строке -м столбце. Но запись (т. е. в круглых скобках) – это сокращенная запись всей матрицы. Вертикальный ряд в матрице называется ее столбцом, а горизонтальный – строкой.
В развернутом виде матрица записывается, согласно определению, как числовая таблица, при этом с обеих сторон она ограничивается либо круглыми скобками, либо квадратными, либо двумя вертикальными чертами, например:
.
Матрица называется нулевой и обозначается , если все ее элементы равны нулю. Если , то матрица называется квадратной, а число называется ее порядком. Элементы , квадратной матрицы образуют ее главную диагональ и называются диагональными. Элементы образуют побочную диагональ матрицы.
Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Следует отметить, что в диагональной матрице некоторые диагональные элементы также могут равняться нулю.
Среди диагональных матриц выделяют матрицу , все диагональные элементы которой равны 1, и называют эту матрицу единичной:
.
Если обозначить элементы единичной матрицы , то
.
Символ , снабжённый двумя индексами, верхними или нижними ( ), равный 1, когда индексы совпадают, и 0, когда они разные, широко применяется как в математике, так и в физике, и называется символом Кронекера. Таким образом, элементы единичной матрицы совпадают с соответствующими символами Кронекера.
Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , нижней треугольной, если при . Неквадратная матрица при называется трапециевидной, если при .
Матрицы, у которых совпадают размеры и соответствующие элементы равны, называются равными.
Сложение матриц
Определение 10.1. Суммой двух матриц одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Другими словами, если , , то .
Свойства сложения матриц.
1. (коммутативность).
2. (ассоциативность).
3. (существование нейтрального элемента).
4. (существование противоположного элемента).
Во множестве матриц одинаковых размеров задаётся и операция вычитания как операция, обратная сложению. Поэтому вычитание матриц сводится к вычитанию их соответствующих элементов.
Умножение матрицы на число
Определение 10.2. Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, что и , все элементы которой получены из соответствующих элементов матрицы умножением на число .
Другими словами, при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на то же число.
Свойства операции умножения матрицы на число.
1. ; 5. ;
2. ; 6. ;
3. ; 7. ;
4. ; 8. .
Здесь и – произвольные матрицы одних и тех же размеров, и – произвольные числа.
Из свойств операций сложения и умножения на число вытекает, что линейные операции над матрицами можно проводить по тем же правилам, что и над многочленами или векторами.
Линейной комбинацией матриц с коэффициентами , , будем называть матрицу .
Пример 10.1. Заданы матрицы
, , , .
Из перечисленных операций выполнить те, которые определены:
а) , б) , в) , г) .
∆ а) Матрицы и имеют одинаковые размеры, поэтому сложение возможно. На основании определения 10.1 складываем соответствующие элементы:
.
б) Матрицы и имеют разные размеры, сложение невозможно.
в) Размеры матриц совпадают, вычитание возможно:
.
г) Размеры матриц , и совпадают, все операции определены:
=
.▲