ANSYS Mechanical

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

Этот метод хорошо работает даже в том случае, когда вблизи критической точки происходит резкое изменение решения. В итоге, искомый вектор перемещений обновляется в соответствии с выражениями:

{∆ui+1}= {un }+{∆un }+{∆ui }	(111)
λi+1 = λn + λi + ∆λ	(112)

где:

n– текущий номер подшага.

Вслучае, когда прикладываемая нагрузка больше или меньше максимальной или минимальной критической нагрузки (соответственно), итерации в цикле будут

продолжаться, поскольку λ не близко к единице. В этом случае рекомендуется прервать итерации, используя команды ARCTRM или NCNV.

4.3.11 Нестационарный нелинейный анализ (теория поля)

Основные разрешающие уравнения первого порядка:
[C]{u}+[K ]{u}= {F a }	(113)
где:
[C] – матрица “демпфирования”;
[K ] – матрица коэффициентов;
{u} – вектор степеней свободы;
{u} – вектор скоростей;
{F a }– вектор приложенной нагрузки.
Для температурного анализа, [C] – матрица удельной теплоемкости,	[K ] – матрица

теплопроводности, {u} – вектор узловых температур {T}, а {F a } – вектор приложенной тепловой нагрузки {Qa }.

Для систем первого порядка редуцированный метод и метод суперпозиций для решения разрешающих уравнений не применим.

4.3.11.1 Метод трапеций (Хьюза, Hughes)

Метод решения уравнения (113) носит название “Метод трапеций” [164]:
{un+1}={un }+(1−θ)∆t{un }+θ∆t{un+1}	(114)

где:

θ – параметр интегрирования по времени, 0.5 ≤θ ≤1;

∆t = tn+1 −tn ;

{un } – значения узловых степеней свободы в момент времени tn;

{un } – скорость изменения значения узловых степеней свободы в момент времени tn. Уравнение (113) с учетом (114) в момент времени tn+1 может быть записано в виде:

	1			a		1		1−θ
		[C]+[K ] {un+1	}={F		}+[C]		{un }+		{un }	(115)
	θ∆t					θ∆t		θ

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

52

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

4.3.12 Суперэлементные алгоритмы

Суперэлементное моделирование (метод подконструкций) применим для любого типа анализа. Использование суперэлементов (подконструкций) является процедурой, объединяющей группу конечных элементов в один суперэлемент, представляемый единственной матрицей (жесткости, масс, нагрузок), что позволяет проводить расчет достаточно больших задач при ограниченных возможностях компьютера и сократить время счета.

Применение суперэлементов рекомендуется в нелинейных расчетах и расчетах моделей с повторяющимися геометрическими объектами. В нелинейных расчетах в подконструкцию рекомендуется выносить фрагмент модели с линейным поведением, так, чтобы матрица жесткости элемента не подвергалась повторному вычислению на каждой итерации. В моделях, содержащих повторяющиеся геометрические объекты, можно создать один суперэлемент для представления повторяющихся объектов и в дальнейшем его просто копировать, таким образом, существенно экономя время расчета.

Процедура расчета весьма значительных моделей, которые делятся на малые суперэлементы (создание подконструкций снизу вверх), состоит из следующих этапов:

1.Создание суперэлементов (generation pass).

2.Использование (применение) суперэлементов (use pass).

3.Расширение результатов для суперэлементов (expansion pass).

Для того, чтобы поделить на подконструкции малые модели или системы с общим контролем геометрии проекта, или для расчета изолированных компонентов, можно использовать несколько отличающийся прием, именуемый созданием подконструкций сверху вниз:

1.Предварительное построение полной модели, включающей и суперэлемент, и не входящие в него объекты.

2.Создание суперэлементов на выделенном наборе полной модели.

3.Использование супеэлементов.

4.Расширение результатов для каждого суперэлемента.

4.3.12.1Статические задачи

Для задач статики решается следующая система линейных алгебраических

уравнений:
[K ]{u}= {F}	(116)

где вектор{F} включает в себя узловую нагрузку, давление и температурные эффекты за исключением {F nr } – вектора восстанавливающей нагрузки, соответствующего элементной инерционной нагрузке (см. раздел 3.3.10.1). Уравнения могут быть разделены на две группы:

[Kmm ] [Kms ] {um }								{Fm }
	[K	sm	] [K	ss	] {u		}	= {F		}
						s			s

или

[Kmm ]{um }+[Kms ]{us }= {Fm } [Ksm ]{um }+[Kss ]{us }= {Fs }

(117)

(118)

(119)

Для узлов суперэлементов степени свободы (основные, внешние степени свободы, master) DOFs) обозначаются индексом “m”, для элементов, входящих в состав суперэлемента, (внутренние степени свободы, slave (removed) DOFs) – “s”.

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

53

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
ANSYS Mechanical. Верификационный отчет. Том 1
Решая уравнение (119) относительно {us } и подставляя {us } в (118), получим:
или	[[Kmm ]−[Kms ][Kss ]−1 [Ksm ]]{um }= {Fm }−[Kms ][Kss ]−1{Fs }		(120)
	ˆ	ˆ	(121)
	[K ]{uˆ}= {F}
ˆ	ˆ
где {K} и	{F} – суперэлементная матрица коэффициентов (матрица жесткости) и вектор

нагрузки соответственно.

С учетом того, что элементами вектора нагрузки могут быть векторы температурной нагрузки, давления, гравитационной нагрузки и др. для расширения результатов в суперэлементе разрешающие уравнения записываются следующим образом:

{us }	N	[Ksm ]{um }
	= [Kss ]−1 ∑bi {Fsi }−[Kss ]−1		(122)
где:	i=1
bi – масштабный коэффициент;
{Fsi} – вектор i – ого типа нагрузки.

4.3.12.2 Динамические задачи

Для задач динамики разрешающую систему алгебраических уравнений можно

записать как:
ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	(123)
[M ]{uˆ}+[C]{uˆ}+[K ]{u}= {F}

Матрицы {Kˆ } и {Fˆ} вычисляются аналогично задачам статики. Редуцированные же матрица масс (124) и матрица демпфирования (125) вычисляются так:

[Mˆ ]= [M mm ]−[Kms ][Kss ]−1 [M sm ]−[M ms ][Kss ]−1 [Ksm ]+[Kms ][Kss ]−1 [M ss ][Kss ]−1 [Ksm ]

(124)

[Cˆ ]= [Cmm ]−[Kms ][Kss ]−1 [Csm ]−[Cms ][Kss ]−1 [Ksm ]+[Kms ][Kss ]−1 [Css ][Kss ]−1 [Ksm ]

(125)

Модальный синтез, МС (Component Mode Synthesis, CMS)

При разделении отдельной большой задачи на несколько задач меньшего размера посредством использования суперэлементов экономится время и ресурсы, требуемые для обработки задачи. Модальный синтез (МС) предлагает следующие дополнительные преимущества:

•Уточненное по сравнению с методом Гайана (Guyan) редуцирование для расчетов собственных и вынужденных колебаний и переходных процессов. Средства МС включают урезанные наборы обобщенных координат форм колебаний, определенных для компонентов моделей задач МДТТ.

•Способность учета экспериментальных результатов, поскольку модель суперэлемента не обязана быть только математической.

ПК ANSYS поддерживает три вида МС:

•Метод фиксированных границ (Fixed-Interface method);

•Метод свободных границ (Free-Interface method);

•Метод остаточной гибкости свободных границ (Residual Flexiblility Free interface method).

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

54

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

Для недемпфированной системы МС определяется матрицей жесткости и матрицей масс. Матричные уравнения движения имею вид:

[M ]{u}+[K ]{u}= {F}

(126)

Разделим эти уравнения в соответствии с внешними и внутренними степенями свободы:

u

M

M

K

K

(127)

{u}=

m

, [M ]=

mm

ms

, [K ]=

mm

ms

us

M sm

M ss

Ksm

Kss

где:
m – основные степени свободы (master DOFs) только для внешних узлов;
s – все остальные степени свободы.
Вектор физических перемещений {u}может быть покомпонентно представлен в
обобщенных координатах [343]
{u}=	um		= [T ] um	(128)
	us		yδ

где:

yδ – усеченный набор обобщенных модальных координат; [T ] – матрица преобразования.

Метод фиксированной границы (Fixed-Interface method)

Для данного метода матрица преобразования определяется как:

[I ]	0	(129)
[T ]=
Gsm	Φs

где:

[Gsm ]= −[Kss ]−1 [Ksm ] – избыточные статические граничные формы (redundant static constraint

modes) [344];

[Φs ] – собственные векторы (формы) подконструкции с фиксированными границами; [I ] – единичная матрица.

Метод свободной границы (Free-Interface method)

Для данного метода матрица преобразования определяется как:

	[I ]	0	0
[T ]=			ˆ		(130)
[Gsm ] [Φsr ]			[Φs ]

где:

[Φsr ] – матрица вспомогательных инерционных форм (matrix of inertia relief modes);

[Φˆ s ]= [[Φs ]−[Gsm ][Φm ]];

[Φm ] – собственные векторы (формы) для основных степеней свободы свободной границы

(matrix of the master dof partition of the free-interface normal modes (eigenvectors obtained with interface dofs free));

[Φs ] – собственные векторы (формы) для зависимых степеней свободы свободной границы

(matrix of the slave dof partition of the free-interface normal modes).

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

55

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

Метод остаточной гибкости свободной границы (Residual Flexiblility Free interface method)

Для данного метода матрица преобразования определяется как:

[T ]= [Rsm ],[IRsm ]−1

где:

[Rmm ],[Rsm ] – подматрица остаточного вектора [R];

[Φˆ s ]= [Φs ]−[Rsm ][Rmm ]−1 [Φm ].

0		(131)
ˆ
[Φs ]

4.3.13Контактные задачи

Контактные задачи порождают две существенные проблемы.

Первая заключается в том, что истинная зона контакта до решения задачи неизвестна.

Взависимости от нагрузок, свойств материала, граничных условий и других факторов поверхности могут входить в контакт друг с другом и выходить из него внезапно и непредсказуемо.

Вторая проблема заключается в необходимости учета трения. Существует несколько видов трения и моделей, описывающих поведение взаимодействие тел с учетом трения, и все эти модели являются нелинейными. Фрикционный контакт может быть хаотическим, создавая трудности при сходимости.

Контактные задачи делятся на два основных класса: взаимодействие деформируемого и жесткого (т. е. имеющего гораздо более значительную жесткость, чем деформированное тело, с которой осуществляется контактное взаимодействие) и взаимодействие двух деформируемых тел (т. е. имеющих сопоставимые жесткости).

ПК ANSYS имеет следующие модели контакта:

•“поверхность–поверхность”;

•“узел–поверхность”;

•“узел–линия”.

•“узел–узел”.

Каждый тип модели использует разные наборы контактных элементов и применяется для решения разных задач.

В рамках настоящей верификации рассмотрим типы контакта “узел–поверхность” и “узел–узел”.

4.3.13.1 Тип контакта “узел–поверхность”

Для представления контакта и скольжения между двумя поверхностями (или между узлом и поверхностью или между линией и поверхностью) в двумерном (2D) или трехмерном (3D) пространствах может использоваться элемент CONTA175. Контакт происходит при внедрении контактного узла в элемент ответной поверхности TARGE169

или TARGE170 (Рис. 4.12).

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

56

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

Рис. 4.12 Тип контакта “узел–поверхность”

Методы контроля совместности гарантируют, что одна поверхность не будет внедряться в другую более чем на приемлемую величину. Это может быть выполнено при помощи следующих методов вычисления контакта:

•расширенного метода множителей Лагранжа (по умолчанию, KEYOPT(2)=0);

•метода штрафных функций (KEYOPT(2)=1);

•метода множителей Лагранжа в направлении нормали и метода штрафных функций в направлении касательной (KEYOPT(2)=3);

•чистого метода множителей Лагранжа в направлении нормали и касательной

(KEYOPT(2)=4).

4.3.13.2Тип контакта “узел–узел”

Контактные элементы типа узел с узлом могут использоваться для моделирования контакта точка с точкой (двух деформируемых или недеформируемого и деформируемого тел). Кроме того, можно использовать эти элементы для моделирования контакта между двумя поверхностями, определяя парные контакты узлов, расположенных на противоположных поверхностях.

Наиболее часто используемые элементы типа узел с узлом (Рис. 4.13):

•CONTAC12;

•CONTAC52;

•CONTA178.

Рис. 4.13 11Контактные элементы типа “узел – узел”

Для элемента CONTA178 можно выбрать один из следующих алгоритмов расчета контактного взаимодействия:

•расширенного метода множителей Лагранжа (по умолчанию, KEYOPT(2)=0);

•метода штрафных функций (KEYOPT(2)=1);

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

57

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

•метода множителей Лагранжа в направлении нормали и метода штрафных функций в направлении касательной (KEYOPT(2)=3);

•чистого метода множителей Лагранжа в направлении нормали и касательной

(KEYOPT(2)=4).

Элементы CONTAC12 и CONTAC52 используют только простой метод штрафных функций, при этом требуется указывать контактную жесткость. Значение жесткости в направлении нормали KN должна быть основана на жесткости контактной поверхности. Однако, при использовании элемента CONTA178 с простым методом штрафных функций или расширенным методом множителей Лагранжа, производится полуавтоматическое назначение значений нормальной и касательной жесткости.

4.3.13.3Контактные алгоритмы

Существует возможность использования следующих алгоритмов расчета контактного взаимодействия:

•метода множителей Лагранжа в направлении нормали и касательной

(KEYOPT(2)=4).

•метода множителей Лагранжа в направлении нормали и метода штрафных функций в направлении касательной (KEYOPT(2)=3);

•расширенного метода множителей Лагранжа (по умолчанию, KEYOPT(2)=0);

•метода штрафных функций (KEYOPT(2)=1);

Метод множителей Лагранжа (KEYOPT(2)=4)

Метод множителей Лагранжа не требует ввода значений контактной жесткости FKN и FKS. Вместо них применяются контрольные параметры изменения состояния TOLN и FTOL, которые требуются комплексу ANSYS для определения сохранения состояния контакта. Величина TOLN является максимально допустимым внедрением, a FTOL - максимально допустимой силой растяжения.

Примечание. Отрицательное контактное усилие имеется в закрытом контакте. Растягивающая сила (положительная) соответствует разделению контактирующих поверхностей, но не обязательно, и открытому состоянию контакта.

Поведение контактного стыка может быть описано следующим образом:

•если контакт на предыдущей итерации являлся открытым и текущее вычисленное значение внедрения меньше значения TOLN, такой контакт считается открытым; в противном случае состояние контакта считается закрытым и выполняется еще одна итерация;

•если контакт на предыдущей итерации являлся закрытым и текущее вычисленное значение внедрения меньше значения TOLN, такой контакт считается закрытым; если сила растяжения в контакте превышает FTOL, состояние контакта меняется с закрытого на открытый и комплекс ANSYS выполняет следующую итерацию.

Комплекс ANSYS имеет значения по умолчанию для величин TOLN и FTOL. При назначении величин TOLN и FTOL следует учитывать изложенное ниже:

•положительные значения воспринимаются как множители для значений по

умолчанию;

•отрицательные значения воспринимаются как абсолютные значения (заменяющие значения по умолчанию).

Смысл применения значений TOLN и FTOL заключается в обеспечении устойчивого поведения модели, демонстрирующей переменное поведение контакта в условиях изменения состояния контактных элементов. Если значения, используемые для указания допусков, слишком малы, решение потребует проведения большого числа итераций. Однако большие значения допусков повлияют на точность расчета, поскольку будут допускаться значительные внедрения или растягивающие контактные усилия.

Теоретически использование прямого метода Лагранжа предусматривает нулевое проникновение при закрытом контакте и нулевое скольжение при контакте со склеиванием.

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

58

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

Однако прямой метод множителей Лагранжа добавляет дополнительные степени свободы в модель и требует дополнительных итераций для стабилизации условий в контакте. Данное обстоятельство увеличивает время расчета и может приводить к отсутствию сходимости расчета, если большое число контактных точек переходит в процессе итерации из состояния склеивания в состояние скольжения и наоборот.

Метод множителей Лагранжа в направлении нормали и метод штрафов в поперечной плоскости (KEYOPT(2)=3)

Альтернативным алгоритмом является применение метода множителей Лагранжа, использующегося в направлении нормали, и метод штрафов (касательной жесткости в поперечном направлении) в плоскости, в которой происходит трение. Данный метод применяется только при малом значении скольжения при условии контакта со склеиванием. Этот метод требует указания контрольных параметров изменения состояния TOLN и FTOL и параметра максимально допустимого упругого скольжения SLTOL. В подобном случае комплекс ANSYS также имеет значения по умолчанию, которые могут применяться в большинстве задач. Изменение значения SLTOL, имеющегося по умолчанию, может проводиться путем указания множителя (положительное значение) или абсолютной величины (отрицательное значение). Определяемая на основе допуска текущего значения контактного усилия в направлении нормали и коэффициента трения, контактная жесткость в поперечном направлении FKS определяется автоматически. В ряде случаев значение FKS можно изменять путем указания множителя (положительное значение) или абсолютной величины (отрицательное значение). При указании величин SLTOL и FKS следует проявлять осторожность. Если значение SLTOL слишком велико, а значение FKS слишком мало, может наблюдаться чрезмерное упругое скольжение. Если значение SLTOL слишком мало, а значение FKS слишком велико, может ухудшиться сходимость.

Расширенный метод Лагранжа (KEYOPT(2)=0)

Третьим алгоритмом расчета контактных задач является расширенный метод Лагранжа, основанный на методе штрафов с расширенным контролем внедрения. Этот метод требует указания контактной жесткости в направлении нормали FKN, максимального допускаемого внедрения TOLN и максимально допустимого упругого скольжения SLTOL. Значение FKS может быть вычислено на основе максимально допустимого упругого скольжения SLTOL и текущего значения контактного усилия в направлении нормали. Комплекс ANSYS обеспечивает вычисление значения контактной жесткости в направлении нормали FKN по умолчанию на основе модуля упругости Е и размера прилегающих элементов. Если модуль Е не указан, он принимается равным 109.

Значение по умолчанию контактной жесткости в направлении нормали FKN может быть изменено путем указания множителя (положительное значение) или абсолютной величины (отрицательное значение в единицах силы, отнесенной к единице длины). Если для TOLN указывается большое значение, расширенный метод Лагранжа работает как метод штрафов. Если значение FKN слишком малое, а значение TOLN слишком большое, может наблюдаться чрезмерное внедрение. Если значение FKN слишком большое, а значение TOLN слишком малое, может ухудшиться сходимость.

Метод штрафов (KEYOPT(2)=1)

Последним методом является метод штрафов. Данный метод требует указания значений контактной жесткости в нормальном и поперечном направлениях FKN и FKS. Геометрические характеристики TOLN, FTOLN и SLTOL не используются, а управление внедрением в данном методе не производится. По умолчанию значение FKN определяется подобно используемому в расширенном методе Лагранжа. Значение FKS по умолчанию определяется в виде MU*FKN. Если значения FKN и FKS указываются в виде абсолютных значений (отрицательные значения), метод работает аналогично методу штрафов, применяемому для элемента CONTAC52.

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

59

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

4.3.14 Оптимизация

Модуль Design Optimisation управляет процессом создания оптимального проекта. Под “оптимальным проектом” подразумевается проект, который удовлетворяет всем предъявленным к нему требованиям, но при минимизации некоторых факторов, таких, как вес (масса), площадь поверхности, объем, напряжения, стоимость и так далее. Иными словами, оптимальным проектом является проект, который является, насколько это возможно, максимально эффективным.

Может быть оптимизирован любой параметр проекта: размеры (например, толщины), форма (такая, как радиусы галтелей), расположение опор, стоимость изготовления, собственные частоты, свойства материала и так далее. Фактически любой объект комплекса ANSYS, который может быть выражен в терминах параметров, может быть использован для оптимизации проекта

Комплекс ANSYS для решения широкого диапазона проблем оптимизации имеет два алгоритма. Метод аппроксимации подзадачи является эффективным методом нулевого порядка, который может быть эффективно применен для большинства технических проблем. Метод первого порядка основан на чувствительности проекта и более подходит для задач, требующих высокой точности.

Для обоих методов – аппроксимации подзадачи и первого порядка – выполняется ряд циклов “расчета-оценки-коррекции”. Это значит, что выполняется анализ начального проекта, результаты сравниваются с указанными критериями проекта и в проект вносятся необходимые изменения. Этот процесс повторяется до тех пор, пока выполняются все указанные критерии.

В дополнение к двум имеющимся методам оптимизации, комплекс ANSYS содержит набор инструментов, которые могут использоваться для увеличения эффективности процесса проектирования. Исходные значения данных, полученные на основе оптимизации при помощи случайных чисел, могут служить отправными точками для использования описанных выше методов оптимизации.

Знание основ алгоритма, используемого компьютерными комплексами всегда полезно, и особенно полезно в случае оптимизации проекта. В данном разделе описаны следующие методы:

1)метод аппроксимации подзадачи;

2)метод первого порядка.

Более подробную информацию о вышеперечисленных методах и методах создания проекта при помощи случайных чисел, выполнению “прогонки” по значению параметра, оценки факторов и оценки градиента можно найти в Теоретическом руководстве ПК ANSYS.

4.3.14.1 Метод аппроксимации подзадачи

Метод аппроксимации подзадачи может быть описан как развитый метод нулевого порядка, в котором требуются только значения зависимых переменных, но не их производных. Существуют две концепции, которые играют ключевую роль в методе аппроксимации подзадачи:

•использование аппроксимаций (приближений) целевой функции и переменных

состояния;

•преобразование задачи оптимизации с ограничениями в задачу, не имеющую

ограничений.

Аппроксимация

Для данного метода комплекс назначает взаимные связи между целевой функцией и объектами группы DV (design variable, переменная проекта) в виде сглаженной кривой. Связь создается вычислением целевой функции для нескольких наборов значений DV (то есть для нескольких проектов) и создает зависимость методом наименьших квадратов между

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

60

vk.com/club152685050ANSYS Mechanical. Верификационный| vk.com/id446425943отчет. Том 1

точками данных. Такая созданная кривая линия (или поверхность) называется аппроксимацией (приближением). Каждый цикл оптимизации создает новую точку данных,

иаппроксимация целевой функции обновляется. Именно эта аппроксимация (приближение) минимизируется вместо фактической целевой функции.

Переменные состояния SV (state variable) обрабатываются тем же способом. Аппроксимация создается для каждой переменной состояния и обновляется в конце каждого цикла.

Имеется возможность контроля вида кривой, используемой для аппроксимации при оптимизации. Допускается использование линейной зависимости, квадратичной зависимости

иквадратичной зависимости с перекрестными членами. По умолчанию для целевой функции

fˆ используется квадратичная зависимость с перекрестными членами, а для объектов класса SV – квадратичная зависимость:

n	n	n
fˆ = a0 + ∑ai xi + ∑∑bij xi x j			(132)
i	i	j

Преобразование в задачу, не имеющую ограничений

Переменные состояния и пределы значений переменных проекта используются для наложения ограничений на проект и приложения ограничений к задаче оптимизации. Комплекс ANSYS преобразовывает эту задачу в задачу, не имеющую ограничений, поскольку методы минимизации для последней более эффективны. Преобразование для учета приложенных ограничений проводится добавлением штрафных функций к аппроксимированной целевой функции:

ˆ	n	m1	m2	ˆ	m3		(133)
F(x, pk )= f	+ f0 pk ∑X (xi )+ ∑G(gˆi )+ ∑H (hi				)+ ∑W (wˆ i )
	i=1	i=1	i=1		i=1

где:

X – штрафная функция для переменных типа DV;

G, H, W – штрафные функции для переменных типа SV.

Поиск минимума целевой функции, не имеющей ограничений, далее проводится на каждой итерации путем применения метода последовательной минимизации задачи, не имеющей ограничений (Sequential Unconstrained Minimization Technique, SUMT).

Проверка сходимости

В конце каждого цикла проводится проверка сходимости (или завершения). Задача считается сошедшейся, если текущий, предыдущий, или лучший проекты являются выполнимыми и удовлетворено любое из следующих условий:

•Изменение значения целевой функции текущего проекта по отношению к лучшему выполнимому проекту меньше допуска значения целевой функции.

•Изменение значения целевой функции между двумя последними проектами меньше допуска значения целевой функции.

•Изменение значений всех переменных проекта между текущим проектом и лучшим выполнимым проектом меньше их допусков значений.

•Изменение значений всех переменных проекта между двумя последними проектами меньше их допусков значений.

Наличие сходимости не обязательно указывает на получение истинного глобального минимума. Это только означает, что один из четырех критериев, указанных выше, удовлетворен. Поэтому определение действительной оптимизации проекта является обязанностью пользователя. В противном случае следует выполнить дополнительные расчеты оптимизации.

В ряде случаев расчет может быть прекращен до обнаружения сходимости. Это может произойти при выполнении одного из следующих условий:

ЗАО НИЦ СтаДиО (www.stadyo.ru [e-mail]), МГСУ ([e-mail]), 2009

61