17. Пространство rⁿ

Рас-м мн-во наборов действ чисел длины n:

x=(x1..xn), где xi принад R, i=1..n

Пространством Rⁿ назыв мн-во наборов всех числе (х1….xn), на кот введены1)-3).

Операции:1)x=(x1..xn) и y=(y1..yn): x+y=(x1+y1,.. xn+yn).2) x=(x1..xn) и x принад R: лямбда x= (лям x1…лям xn) 3) Расстояние между x и y:

ρ (x,y)=√(x1’- y1”)²+…+(xⁿ’-yⁿ”)²

18. Расстояние в Rⁿ. Свойства расстояния.

В пространстве Rⁿ, где n>3 , о расстоянии можно говорить лишь в условном смысле, так как точки в Rⁿ не имеют непосредственного геометрического истолкования. Расстояние определяется формулой:

ρ (p,q)= │p-q│=√(x1’- x1”)²+…+(xⁿ’-xⁿ”)²

, где p=(x1’, x2’, …, xⁿ’) и q=( x1”, x2”, …, xⁿ”) – две произвольные точки из Rⁿ.

Свойства:

1) ρ (p,q)>0, елси p ≠ q, и ρ (p,p)=0;

2) ρ (p,q)= ρ (q,p);

3) ρ (p,q)+ ρ (q,r)>= ρ (p,r), каковы бы ни были точки p,q и r. (свойство треугольника).

19. Окрестность точки в Rⁿ.

Пусть pₒ- точка в Rⁿ и ε – положительное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром в pₒ называется множество всех точек, расстояние которых от pₒ меньше ε:

{p € Rⁿ │ ρ (pₒ,p)< ε}.

Шар радиуса ε с центром pₒ обозначается B(pₒ, ε) или U3(pₒ). Множество U3(pₒ) называют

ε–окрестностью точки pₒ.

20. Внутренние и граничные точки множества:

Пусть Х – множество в пространстве Rⁿ. Точка р называется:

-Внутренней точкой множества Х, если она содержится вместе с некоторой своей

ε–окрестностью; сущ Oe(xₒ) сX.

-Внешней точкой по отношению к Х, если она является внутренней для дополнения Х в Rⁿ;

-Граничной точкой для Х, если она не является ни внутренней ни внешней точкой для Х, иначе говоря, если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х. Мн-во граничных точек – граница.

21. Открытые и замкнутые множества.

Множество X называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество X называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

22. Изолированные и предельные точки множества.

Пусть X - множество в Rⁿ. Точка p0 называется предельной для X, если в любой

ε-окрестности точки p₀ имеются точки множества X, отличные от p₀.

При этом сама точка p₀ может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X.

Точка p₀  X называется изолированной точкой множества X, если у нее существует

ε-окрестность, в которой никаких других точек из X, кроме p₀, нет.

Ясно, что любая точка множества Х является либо изолированной, либо предельной для Х.

23. Ограниченные множества.

Множество X Rⁿ называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Нетрудно показать, что ограниченность множества Х означает, что существует такое число C>0, что координаты любой точки p=(x₁,x₂,…,x_n) из Х по модулю не превосходят С: |x₁| .

Мн-во X Rⁿ ограничено тогда и только тогда, когданайдется такое R>0, что X B^R (O), где О-начало коор-т.